Esta es la solución más válida que encomtrarás brindar, pero estúdiala pausadamente y valora si se puede adaptar a tu trabajo.
Solución:
Si usted tiene
$(y_i)_i=1^n$considere la diferencia media cuadrática de la $y_i$
a un valor $a$.
Esto es
$s(a) =sum_i=1^n (y_i-a)^2 $.
Manipulando esto,
$beginarray\ s(a) &=sum_i=1^n (y_i-a)^2\ &=sum_i=1^n (y_i^2-2ay_i+a^2) &=sum_i=1^n y_i^2-sum_i=1^n2ay_i+sum_i=1^na^2\ &=sum_i=1^n y_i ^2-2asum_i=1^ny_i+na^2\ end{arrayps
Hay varias formas de minimizar esta expresión. Quizá lo más fácil sea diferenciar con respecto a $a$. Esto da
$s'(a) =-2sum_i=1^ny_i+2na $
y esto es cero cuando
$a =dfracsum_i=1^ny_in $la media de los valores.
Tenga en cuenta que, desde
$s”(a) =2n > 0 $este valor de $a$
da un mínimo.
(agregado más tarde)
Una forma aún más fácil es escribir
$bary =dfracsum_i=1^ny_in $
y
$bary^2 =dfracsum_i=1^ny_i^2n $.
Después
$beginarray\ frac1ns(a) &=frac1nsum_i=1^n y_i^2-2afrac1nsum_i=1^ny_i+a^ 2\ &=a^2-2abary+bary^2\ &=a^2-2abary+bary^2-bary ^2+bary^2\ &=(a-bary)^2+bary^2-bary^2\ end{arrayps
Ya que
$bary^2-bary^2$
es independiente de $a$esto es claramente un mínimo cuando
$a = bary$
y el valor mínimo es
$bary^2-bary^2$.
Revisa tu cálculo, tenemos $$ frac{(4-5)^2 + (4-3)^2+ (4-2)^2 + (4-7)^2 + (4-4)^2 5 = frac155 = 3 > 2,96. $$ La media minimiza el MSE de hecho, no hay contradicción aquí.
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