Daniela, miembro de este staff, nos hizo el favor de escribir este tutorial porque controla muy bien el tema.
Solución:
Intuitivamente, puede pensar en una curva parametrizada que describe cómo una partícula se mueve a través del espacio en función del tiempo, y puede pensar en una curva como el camino que tomó una partícula mientras se movía a través del espacio. Los datos adicionales adjuntos a la curva cuando se le da una parametrización son, más o menos, las velocidades de la partícula en cada punto.
Pero a veces solo quieres pensar en las propiedades geométricas intrínsecas de la curva, como su curvatura. Para calcular cosas como la curvatura, es conveniente parametrizar la curva, pero eso agrega datos de velocidad adicionales a la curva que no tienen nada que ver con cosas como la curvatura, por lo que no tiene garantía de que las cosas que calcula a partir de una parametrización son realmente propiedades de la curva. Puede garantizar esto si elige una parametrización especial, la parametrización de longitud de arco. Intuitivamente, corresponde a que la velocidad sea un vector unitario en todas partes, y las cosas que calcula a partir de la parametrización de la longitud del arco son realmente propiedades de la curva y no propiedades de una elección particular de velocidades.
La explicación básica de la idea es que los geómetras diferenciales clásicos (¡y modernos!) están interesados en intrínsecoen vez de extrínseco, propiedades de variedades suaves. Por ejemplo, nos gustaría entender las propiedades geométricas de curvas y superficies que no dependen de su incrustación en el espacio euclidiano.
A curva en el espacio es un mapa suave $gamma:Ito mathbbR^3$ con una derivada distinta de cero; donde, $yo$ es un intervalo abierto en $matemáticasR$. La condición de que la derivada de $gamma$ ser distinto de cero es puramente técnico. Por supuesto, una curva es una función y, por lo tanto, perdemos información si identificamos una curva con su imagen.
Por ejemplo, las imágenes de las curvas $f:(0,2pi)to mathbbR^2$ y $g:(0,pi)to mathbbR^2$ dado por las reglas $f(t)=(cos t,sen t)$ y $g(t)=(cos 2t, sen 2t)$ son iguales pero las curvas $f$ y $g$ (es decir, las funciones $f$ y $g$) no son iguales. Por lo tanto, sus dominios son diferentes pero físicamente la curva $g$ es una curva con el doble de la velocidad angular (y, por lo tanto, el doble de la velocidad) de la curva $f$.
las curvas $f$ y $g$ en el ejemplo anterior se dice que son los reparametrizaciones el uno del otro Formalmente, si $gamma:Ito mathbbR^3$ es una curva y si $p:I’to I$ es un mapa suave con derivada distinta de cero, entonces decimos que el $subrayadotextitcomposición de funciones ,,,gammacirc p:I’to mathbbR^3$ es una reparametrización de $gamma:Ito mathbbR^3$. La condición de que la derivada de $p$ Se requiere que sea distinto de cero para que la reparametrización de una curva sea una curva (según nuestra definición anterior de “curva”).
Una pregunta básica que nos podemos hacer es: qué propiedades de las curvas no dependen de la parametrización? De hecho, en lo que respecta a la geometría intrínseca, solo nos importa la imagen de la curva en lugar de la curva en sí. por ejemplo, el velocidad de una curva depende de su parametrización (por la cadena de reglas) al igual que la velocidad de una curva (es decir, la norma de la velocidad).
El siguiente ejercicio proporciona una respuesta a esta pregunta y lo animo a intentarlo:
Ejercicio 1: La longitud de una curva $gamma:(a,b)to mathbbR^3$ es la integral $int_a^b left|gamma'(t)right|dt$. Demostrar que la longitud de una curva es independiente de su parametrización. (Insinuación: utilice la regla de la cadena en el cálculo diferencial y el teorema del cambio de variables en el cálculo integral.)
Deducimos que la longitud de una curva es una propiedad intrínseca de la curva. Por supuesto, hay otras propiedades de las curvas que no dependen de sus parametrizaciones. los curvatura es una de esas propiedades y si está familiarizado con esta noción, le animo a que lo pruebe por su cuenta.
Ejercicio 2: Si $gamma:Ito mathbbR^3$ es una curva, entonces el parametrización de longitud de arco de $gamma$ viene dada por el cambio de parámetro $p^-1:I’to I$ donde $p(t)=int_a^t left|gamma'(t)right|dt$ y $I’=p(I)$. Demuestre que la parametrización de longitud de arco es de hecho una reparametrización de $gamma$. (El conjunto $I’subconjunto mathbbR$ es un intervalo abierto por el teorema de la función inversa si desea ser técnico).
Ejercicio 3: Determine la parametrización de longitud de arco para la curva de su pregunta (esto debería ser un cálculo integral simple).
La observación crucial es que el la paramatrización de longitud de arco es intrínseca a la curva, es decir, la parametrización de la longitud del arco no depende de la parametrización inicial de la curva con la que comenzamos (esto debería ser obvio pero, si no, demuéstrelo usando Ejercicio 1 y Ejercicio 2).
En la geometría diferencial moderna, la gente está interesada en aquellas propiedades de curvas y superficies que dependen únicamente de la métrica riemanniana inducida del espacio euclidiano. Por ejemplo, tales propiedades incluyen la longitud de arco, curvatura, torsión, bi-torsión etc
Un famoso teorema en geometría diferencial es el Teorema Egregio de Gauss que afirma que la curvatura gaussiana de una superficie (es decir, el producto de las curvaturas principales de la superficie) no depende de la incrustación de la superficie en el espacio euclidiano sino sólo de la métrica riemanniana inducida. El análogo de la parametrización de longitud de arco en dimensiones superiores (es decir, el análogo de la parametrización de longitud de arco para variedades de Riemann de dimensiones superiores) está dado por el mapa exponencial y las coordenadas normales.
¡Espero que esto ayude!
Si te gustó nuestro trabajo, puedes dejar un artículo acerca de qué le añadirías a este enunciado.