Solución:
$$ x + 2y equiv3 pmod9 $$ $$ 6x + 12y equiv18 pmod9 $$ $$ 6x + 3y equiv0 pmod9 $$
Sumando esto a la otra ecuación
$$ 9x + 4y equiv2 pmod9 $$ $$ 4y equiv2 pmod9 $$ $$ 28y equiv14 pmod9 $$ $$ y equiv5 pmod9 $$
Reemplazando $ y $ en la primera ecuación $$ x + 2 (5) equiv3 pmod9 $$ $$ x + 1 equiv3 pmod9 $$ $$ x equiv2 pmod9 $$
Escribe el sistema en forma de matriz: $$ left[matrix{1 & 2 cr 3 & 1 cr}right] izquierda[matrix{x cr y cr}right] = izquierda[matrix{3 cr 2 cr}right]. $$
Desde $ det se fue[matrix{1 & 2 cr 3 & 1 cr}right] = -5 = 4 ne 0 $, la matriz es invertible mod $ 9 $; su inversa (usando la fórmula estándar para la inversa de una matriz de $ 2 times 2 $ es $$ left[matrix{7 & 4 cr 6 & 7 cr}right]. $$
Entonces $$ left[matrix{x cr y cr}right] = izquierda[matrix{7 & 4 cr 6 & 7 cr}right] izquierda[matrix{3 cr 2 cr}right] = izquierda[matrix{2 cr 5 cr}right]. $$
El CRT se utiliza para resolver sistemas de congruencias de la forma $ rm x equiv a_i bmod m _ {, i} $ para módulos distintos $ rm m _ {, i} $; en nuestro situación, solo hay uno variable y única uno módulos, pero diferentes congruencias lineales, por lo que este no es el tipo de problema donde se aplica CRT. Más bien, esto es álgebra lineal.
En cambio, está trabajando con un sistema lineal de $ 2 times2 $ sobre un módulo dado, $ 9 $. Aquí, se aplican los dos primeros métodos elementales para resolver sistemas lineales: sustitución y eliminación. La diferencia, sin embargo, es que generalmente no podemos dividir por nada que comparta divisores con $ 9 $, es decir, múltiplos de $ 3 $. Y si, en su búsqueda por eliminar variables, multiplicar por cosas que no coprime al módulo, puede terminar agregando no soluciones extrañas, por lo que puede ser peligroso si no tiene cuidado.
Usemos la sustitución. Las congruencias aquí son
$$ begin {casos} rm x + 2y equiv 3 mod 9, \ rm 3x + y equiv2 mod 9. end {casos} $$
La primera congruencia da $ rm x equiv 3-2y $; conecte esto en el segundo para obtener
$$ rm 3x + y equiv 3 (3-2y) + y equiv -5y equiv2 mod 9. $$
Ahora $ -5 $ es coprimo a $ 9 $, por lo que podemos dividirlo, es decir, multiplicar por su mod recíproco $ 9 $. En este caso, el recíproco es $ -5 ^ {- 1} equiv-2 equiv7 bmod 9 $, por lo que la solución para $ rm y $ es $ rm y equiv7 cdot2 equiv5 bmod 9 $. Para encontrar $ rm x $, inserte $ rm y equiv5 $ en las congruencias, obteniendo $ rm x + 10 equiv3 $ y $ rm 3x + 5 equiv2 $. El primero da $ rm x equiv2 $, por lo que tenemos la solución única $ rm (x, y) equiv (2,5) $. Sin embargo, el segundo da $ rm 3x equiv-3 bmod9 $, que, después de dividir, da $ rm x equiv-1 equiv2 bmod3 $ de modo que $ rm x in {2,5,7 } bmod 9 $; esto no cambia el hecho de que $ (2,5) $ es la solución única para el sistema, pero sí ilustra que dividir por cosas que no son coprime al módulo puede introducir soluciones falsas no deseadas.
Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices tiene sentido si se toma como módulo un entero. Los problemas potenciales surgen cuando queremos inversos. Si existe una matriz inversa $ rm A ^ {- 1} $ de una matriz de entrada de números enteros $ rm A $, y cada denominador que aparece en los racionales resultantes es coprime al módulo (equivalentemente: $ rm det A $ es coprime al módulo), entonces $ rm A ^ {- 1} $ puede reducirse por debajo del módulo (racionales como $ rm a / b $ se convierten en $ rm ab ^ {- 1} bmod m $; este tipo de cosas es válido porque hay un “homomorfismo de anillo $ { bf Z} _ {(p)} to { bf Z} / p { bf Z} $”), y el resultado será un inverso de $ rm A $ con respecto al módulo, es decir, $ rm A , A ^ {- 1} equiv I bmod m $. Es por eso que la respuesta de bikenaga funciona, usando matrices, y facilita las cosas cuando corresponde.