Este dilema se puede abordar de variadas formas, pero en este caso te compartimos la que para nosotros es la respuesta más completa.
Solución:
La norma de Frobenius de $ A $ es la raíz cuadrada de la suma de todos los autovalores (la traza) de $ A ^ * A $, y dado que todos los autovalores de $ A ^ * A $ son no negativos, se deduce que el autovalor más grande es menor o igual que la suma de todos los valores propios.
Si $ p = 2 $ es la norma de Frobenius, ¿verdad?
No, si $ p = 2 $ esa es otra caracterización de la norma espectral. Una prueba de esto se esboza en la respuesta de Michalis.
Cualquier norma matricial inducida por una norma en su espacio vectorial (más de $ mathbb R $ o $ mathbb C $) que también satisfaga $ | A ^ * | = | A | $ ser mayor o igual a la norma espectral. Sea $ lambda $ el valor singular más grande de A (la raíz cuadrada del valor propio más grande de ($ A ^ * A $)) y $ v $ el vector propio correspondiente. Sea $ | A | $ la norma matricial inducida por una norma en el espacio vectorial: $$ | A | ^ 2 = | A ^ * | cdot | A | geq | A ^ * A | = max frac x geq frac = lambda $$ y entonces $ | A | geq sqrt lambda $
Para la norma 2, en realidad tiene igualdad, que puede mostrar mediante la descomposición de valores singulares. Podemos tomar una base ortonormal de autovectores para $ A ^ * A $ (con respecto al producto escalar habitual que también induce la norma 2). Denote esta base por $ v_1, ldots, v_n $ con valores propios $ lambda = lambda_1, ldots, lambda_n $. Para cualquier vector $ x = sum x_i v_i $ tenemos $$ | Ax | _2 ^ 2 = overline x ^ TA ^ * Ax leq overline x ^ T sum lambda_i x_i v_i = sum lambda_i | x_i | ^ 2 leq lambda | x | _2 ^ 2 $$ Entonces $ | A | _2 leq sqrt lambda $ y ambas desigualdades juntas muestran $ | A | _2 = sqrt lambda $.