Simón, parte de nuestro staff, nos hizo el favor de crear este enunciado porque domina a la perfección dicho tema.
Solución:
Para simplificar, consideremos $n$ cargos puntuales $q_1$, $ldots$, $q_n$, en las posiciones $vecr_1$, $ldots$, $vecr_n$, en el límite electrostático, con permitividad de vacío $epsilon_0$.
Ahora esbocemos una posible estrategia para probar la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb:
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Deducir de la ley de Coulomb que el campo eléctrico en la posición $vecr$ es $$tag1 vecE(vecr)~=~ sum_i=1^n fracq_i 4piepsilon_0fracvecr-vecr_i . $$
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Deducir la densidad de carga $$tag2 rho(vecr)~=~sum_i=1^n q_idelta^3(vecr-vecr_i ). $$
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Recuerda la siguiente identidad matemática $$tag3vecnablacdot fracvecr^3~=~4pidelta^3 (vecr) .$$ (Esta respuesta Phys.SE puede ser útil para probar la ecuación (3), que también puede escribirse como $nabla^2frac1=-4pidelta^3(vecr)$).
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Utilice las ecuaciones. (1)-(3) para probar la ley de Gauss en forma diferencial $$tag4 vecnablacdot vecE~=~fracrhoepsilon_0 .$ PS
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Deducir la ley de Gauss en forma integral mediante el teorema de la divergencia.
@Qmechanic ya ha proporcionado una buena respuesta. Me gustaría proporcionar otro.
Considere una carga $q$ encerrada por cualquier superficie (no necesariamente una esfera). Algo como esto –
Ahora, escribe el flujo que sale de esta extraña superficie – $$ phi_E = displaystyle oint_S mathbfE cdot mathrmdmathbfS $$ Sabemos que – $$ mathbf E = E vecr = dfrac14pi epsilon_0 dfracqr^2vecr $$ Entonces, aquí en esta extraña superficie. no hay un radio fijo, ¿verdad? Y la superficie que aquí se considera no es continua. Entonces, obtendría – $$ phi_E = dfracq4pi epsilon_0 displaystyle oint_S dfracmathrmdmathbfSr^2 tag1 $$ Recuerda que el término $dfracmathrmdmathbfSr^2$ es el muy definición para el estereorradián – que es igual a $dfrac14pi$ de una esfera completa. Esto es bueno para cualquier superficie. En pocas palabras, este es el análogo 3D de la rotación de $2pi$ en un círculo. Aquí tenemos su elemento diferencial, es decir, $dOmega = dfracmathrmdmathbfSr^2$ Al integrarlo por completo, tenemos $$ displaystyle oint_S dfrac mathrmdmathbfSr^2 = displaystyle oint_S dOmega = 4pi$$ Reemplazando esto en (1), tenemos – $$ phi_E = dfracq epsilon_0 $$ Lo que implica – $$ displaystyle oint_S mathbfE cdot mathrmdmathbfS = dfracqepsilon_0 $$ Ok, ya que terminado con la derivación de la forma integral de la ley de Gauss (que se cumple true para cualquier superficie cerrada), se puede obtener la siguiente forma diferencial aplicando el teorema de la divergencia – $$ nabla cdot mathbfE = dfracrhoepsilon_0 $$
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