Solución:
Lo que has descubierto es esencialmente aritmética modular. Al mirar solo los últimos dígitos de un producto (en cualquier base que esté mirando en este momento), en realidad está diciendo ‘No me importan las cosas que difieren en múltiplos de $ n $; Quiero considerarlos como el mismo dígito ‘. Por ejemplo, en la base $ 7 $, $ 5 times 2 = 10_ {10} = 13 $ tiene el mismo último dígito que $ 4 times 6 = 24_ {10} = 33 $; colocamos ambos números en un cubo con la etiqueta ‘$[3]$ ‘, junto con $ 3 $, $ 23 = 17_ {10} $, $ 43 = 31_ {10} $, etc. En matemáticas, cuando hablamos de $ 31 bmod 7 $ a veces solo nos referimos al número $ 3 $ en sí mismo (es decir , la ‘etiqueta’ en este segmento que está entre $ 0 $ y $ 6 $, pero a menudo es conveniente pensar que representa el entero cubo: cualquier número que elijamos de los $[3]$ bucket, cuando lo agregamos a un número en $[2]$ bucket, sabemos que nuestro resultado estará en el $[5]$ cubo, y cuando multiplicamos un número en el $[3]$ cubo por un número en el $[4]$ bucket, sabemos que nuestro resultado estará en el $[5]$ cubo; etc. Los “últimos dígitos” son solo una forma conveniente de hablar sobre estos grupos (aunque las cosas se vuelven un poco más esquemáticas cuando se habla de números negativos; tenga en cuenta que, de acuerdo con estas reglas, $ -3 $ entra en el $[4]$ cubo!).
Mientras tanto, las bandas en su patrón son en realidad (piezas de) hipérbolas. Dado que $ a times (nb) equiv – (a times b) pmod n $ (la declaración ‘$ x = y pmod n $’ es una forma matemática de expresar ‘$ x $ y $ y $ están en el mismo cubo en la base $ n $ ‘; aquí, la diferencia entre $ a times (nb) $ y $ – (a times b) $ es $ a times n $), el extremo derecho es esencialmente un reflejo de la izquierda y, de manera similar, la parte inferior es un reflejo de la parte superior. Si reorganiza los cuatro cuartos de su cuadrado para que el centro de simetría sea (lo que era anteriormente) la esquina superior izquierda, es decir, tome $ A B encima de C D $ a $ D C encima de B A $ – y luego coloque el origen en el centro, entonces las bandas serán exactamente (versiones escaladas) de la hipérbola $ xy = C $ (que son las hipérbolas $ y ^ 2-x ^ 2 = 2C $ rotadas por $ 45 ^ circ PS Esto sucede porque cada ‘ciclo’ de negro a blanco o de negro a blanco a negro estará separado por un múltiplo de $ n $; p.ej, la primera transición entre ciclos ocurre a lo largo de la hipérbola $ xy = n $; el segundo a lo largo de la hipérbola $ xy = 2n $; etc.
(En cuanto a los patrones de muaré, están relacionados con la forma habitual en que se generan dichos patrones y, en particular, están relacionados de alguna manera con alias cerca del límite de Nyquist cuando la frecuencia entre bandas hiperbólicas comienza a acercarse a la frecuencia de los ‘píxeles’ con los que está muestreando, pero esa es otra historia en conjunto …)
Puede modelar sus gráficos calculando $ f_n (x, y) = n left[frac{xy}{n}right]$, donde aquí los corchetes son notación ad-hoc para significar tomar la parte fraccionaria (o “reducir módulo 1”). Esto toma $ z = xy $ y lo corta en un montón de hipérbolas horizontales, colapsando el gráfico como una lente de Fresnel. Entonces, lo que está haciendo es muestrear $ f_n $ en puntos enteros $ {(i, j) in mathbb {Z} ^ 2: 1 leq i, j leq n } $, pero $ f_n $ oscila más rápido que su cuadrícula de muestra, lo que lleva a un patrón de muaré.