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Solución:
Entonces, una geodésica es esencialmente la minimización de un funcional, es decir, una función de funciones. Son el estudio principal del cálculo de variaciones. Ahora, si tenemos un funcional de la forma $$ J[y]= int_a ^ b F (x, y, y ‘) dx $$ definido en el conjunto de funciones $ y (x) $ que tienen primeras derivadas continuas en $[a,b]$, y satisfacer las condiciones de contorno $ y (a) = A $, $ y (b) = B $, entonces una condición necesaria para $ J[y]$ tener un extremo para una función $ y (x) $ es que $ y (x) $ satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange $$ F_y- frac d dx F_ y ‘ = 0. $$
En esencia, necesitamos resolver la ecuación diferencial anterior.
Sin ponernos más meticulosos con las cosas, lo funcional que nos importa aquí es el integral de longitud de arco.
Primero, suponga que tenemos una superficie $ mathcal S $ definida por la ecuación vectorial $$ vec r (u, v) = x (u, v) hat i + y (u, v) hat j + z (u, v) hat k. $$ La curva geodésica que se encuentra en la superficie $ mathcal S $ se puede especificar mediante las ecuaciones $$ u = u (t), qquad v = v (t), $$ y se puede encontrar minimizando la longitud del arco entero $$ L = int_ t_0 ^ t_1 sqrt left ( frac dx dt right) ^ 2+ left ( frac dy dt right) ^ 2 + left ( frac dz dt right) ^ 2 dt $$ Pero como $ x, y, z $ son cada función de más de una variable, la regla de la cadena va a convertir esta integral en una monstruosidad. Afortunadamente, es una monstruosidad con un patrón bastante ordenado para que podamos hacer que las cosas se vean un poco más bonitas.
Dejando $ u ‘= frac du dt $ y $ v’ = frac dv dt $, el entero anterior se puede reescribir como
$$ J[u,v]= int_ t_0 ^ t_1 sqrt Eu ‘^ 2 + 2Fu’v’ + Gv ‘^ 2 dt, $$
donde $ E $, $ F $ y $ G $ son los coeficientes de la primera forma fundamental (cuadrádica) de la superficie, es decir, $$ begin cases displaystyle E = vec r _u cdot vec r _u = left ( frac partial x partial u right) ^ 2 + izquierda ( frac y parcial u parcial derecha) ^ 2 + izquierda ( frac z parcial u parcial derecha) ^ 2 \ \ Displaystyle F = vec r _u cdot vec r _v = frac parcial x parcial u frac parcial x parcial v + frac parcial y parcial u frac parcial y parcial v + frac parcial z parcial u frac parcial z parcial v \ \ Displaystyle G = vec r _v cdot vec r _v = izquierda ( frac parcial x parcial v derecha) ^ 2 + izquierda ( frac parcial y parcial v derecha) ^ 2 + izquierda ( frac z parcial v parcial derecha) ^ 2. end cases $$
La ecuación de Euler-Lagrange en este caso corresponde a las dos ecuaciones diferentes $$ displaystyle F_u- frac d dt F_ u ‘ = 0, displaystyle F_v- frac d dt F_ v ‘ = 0, $$ por lo tanto, obtenemos begin ecuación label geodesiceq1 frac E_u u’ ^ 2 + 2F_u u ‘v’ + G_u v ‘^ 2 sqrt Eu’ ^ 2 + 2Fu’v ‘+ Gv’ ^ 2 – frac d dt frac 2 (Eu ‘+ Fv’) sqrt Eu ‘^ 2 + 2Fu’v’ + Gv ‘^ 2 = 0, end ecuación begin ecuación label geodesiceq2 frac E_v u’ ^ 2 + 2F_v u ‘v’ + G_v v ‘^ 2 sqrt Eu’ ^ 2 + 2Fu’v ‘+ Gv’ ^ 2 – frac d dt frac 2 (Fu ‘+ Gv’) sqrt Eu ‘^ 2 + 2Fu’v’ + Gv ‘^ 2 = 0. end ecuación
Cuáles son las dos ecuaciones diferenciales cuyas soluciones proporcionan la geodésica en la superficie $ mathcal S $.
Ahora permítanme señalar un caso importante. En el caso de que $ E $ y $ G $ sean funciones explícitas de $ v $ solamente y $ F = 0 $, tenemos $$ frac E_v + v ‘^ 2G_v 2 sqrt E + Gv’ ^ 2 – frac d du left ( frac Gv ‘ sqrt E + Gv’ ^ 2 right) = 0, $$ entonces $$ E_v + v ‘^ 2G_v – 2 G sqrt E + Gv ‘^ 2 bigg[ fracv”sqrtE+Gv’^2 + left( frac12 right) fracv'(2Gv’v”)(E+Gv’^2)^frac32 bigg] = 0 $$ $$ E_v + v ‘^ 2 G_v – 2Gv’ ‘+ frac 2G ^ 2v’ ^ 2v ” E + Gv ‘^ 2 = 0 $$ begin ecuación frac Gv ‘^ 2 sqrt E + Gv’ ^ 2 – sqrt E + Gv ‘^ 2 = c_1 end ecuación que se puede hacer aún más útil si anotas $ displaystyle v’ = frac dv du $, lo que nos da $$ Gv ‘^ 2- (E + Gv’ ^ 2) = c_1 sqrt E + Gv ‘^ 2 $$ $$ left (- frac E c_1 right) ^ 2 = E + Gv ‘^ 2 $$ $$ frac E ^ 2- c_1 ^ 2E G c_1 ^ 2 = v’ ^ 2, $$ finalmente proporcionando begin ecuación u = c_1 int_ v_1 = v (u_1) ^ v_2 = v (u_2) sqrt frac G E ^ 2- c_1 ^ 2E dv. end ecuación
Ahora hablemos del elipsoide. Un elipsoide con longitudes de semieje $ a, b, c $ viene dado por la ecuación vectorial $$ vec r (u, v) = langle a cos (u) sin (v), b sin (u) sin (v), c cos (v) rangle $$ con $ u en [0,2pi)$ and $vin [0, pi]PS
La primera forma fundamental del elipsoide que lamentablemente encontré a mano antes de darme cuenta de que podría haber ido a Google es
$$ begin cases E = b ^ 2 cos ^ 2 (u) sin ^ 2 (v) + a ^ 2 sin ^ 2 (u) sin ^ 2 (v) \ F = left (b ^ 2-a ^ 2 right) sin (v) cos (v) sin (u) cos (u) \ G = cos ^ 2 (v) left[ (a^2-b^2) cos^2(u)+b^2 right] + c ^ 2 sin ^ 2 (v) end casos $$
Ahora escuche, en realidad estoy procrastinando un ensayo de transferencia al estar aquí y mirar la forma fundamental de arriba es bastante preocupante, porque está lejos de ser elegante y fácil de manejar e implicaría resolver esa aterradora ecuación diferencial que mencioné anteriormente.
Entonces voy a dejar $ a = b $. Jugar con $ c $ es lo suficientemente elipsoide para mí, y si quieres ir por los $ a, b, c $ completos, entonces sé mi invitado, ¡jaja! Entonces, haciendo lo que dije, las cosas son mucho más bonitas:
$$ begin cases E = a ^ 2 sin ^ 2 (v) \ F = 0 \ G = b ^ 2 cos ^ 2 (v) + c ^ 2 sin ^ 2 (v) end cases $$
y aquí es donde podemos aplicar la última observación que hice antes con respecto a la primera forma fundamental que se ve así. Por tanto, tenemos la geodésica en esta superficie dada por
$$ u = c_1 int sqrt frac G E ^ 2- c_1 ^ 2E dv = c_1 int sqrt frac b ^ 2 cos ^ 2 (v ) + c ^ 2 sin ^ 2 (v) a ^ 4 sin ^ 4 (v) – c_1 ^ 2 a ^ 2 sin ^ 2 (v) dv. $$
Ahora, en el caso de una esfera, resolver el integeral y reorganizar da un plano, y esa intersección de planos con la esfera representa geodésicas en una esfera. Yo mismo no podría llegar a ninguna parte con integeral, pero estoy seguro de que alguien más puede, así que dejaré las cosas aquí.
… Ahora volvamos a mi ensayo.
En una nota final, aquí está mi trabajo de investigación de mi primer semestre. Pruebo cada paso para probar las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange y luego muestro algunos ejemplos en uso, como encontrar la geodésica en una esfera y la geodésica de una función girada alrededor de un eje.
Como Jack mencionó en los comentarios de su publicación, si considera solo los elipsoides que se pueden obtener al girar una función $ f (x) $, el entero es mucho más fácil. Lo demuestro en el artículo anterior, pero aquí está de nuevo:
$$ v = c_1 int_ u_1 ^ u_2 frac sqrt 1+ (f ‘(u)) ^ 2 f (u) sqrt (f (u)) ^ 2- c_1 ^ 2 du $$
Tenga en cuenta que $ x = u $ en el entero anterior.
Las siguientes direcciones solo se refieren a los valores iniciales.
Si todas las geodésicas son tangentes al círculo
$$ x ^ 2 + y ^ 2 = r_ min ^ 2 @ , r = r_ min $$
como la constante de Clairaut entonces para un elipsoide de revolución
$$ (z / c) ^ 2 + (r / a) ^ 2 = (z / c) ^ 2 + (x ^ 2 + y ^ 2) / a ^ 2 = 1 $$
diferenciamos para encontrar la pendiente meridiana
$$ tan phi = – (a / c) sqrt (a / r) ^ 2-1, $$
y $ r = f ( theta) $ se encuentra por integración (para obtener el resultado integral elíptico)
$$ frac dr r , d theta = sin phi , sqrt 1- (r / r_ min) ^ 2. $$
de forma similar, se puede configurar $ z $. Tenemos $ (r, z) $ como funciones de $ theta $
Sin embargo, con $ (r_B, r_A), theta_ AB, (z_B, z_A) $ dados, no podemos usar esto directamente …
podemos comenzar con las condiciones iniciales $ (r_B, theta_A = 0, z_A) $ pero para llegar al último punto podemos variar / ajustar la constante de Clairaut $ r_ min $ varios pequeños incrementos en un procedimiento numérico.
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