Saltar al contenido

¿Cómo se debe presentar el rotacional y la divergencia en una clase de cálculo multivariable de pregrado?

Contamos con tu ayuda para extender nuestras crónicas en referencia a las ciencias de la computación.

Solución:

Para mí, la explicación de la aparición de div, grad y curl en las ecuaciones físicas está en sus propiedades de invariancia.

A los estudiantes de física se les enseña (¿o no?) el principio de Galileo de que las leyes físicas deben ser invariantes bajo cambios de coordenadas inerciales. Entonces tome un operador diferencial de primer orden $D$, mapeando campos de 3 vectores a campos de 3 vectores. Si va a aparecer en cualquier ecuación física general, debe conmutar con traslaciones (y por lo tanto tener coeficientes constantes) y también con rotaciones. Con solo considerar las rotaciones sobre los 3 ejes de coordenadas, puede verificar que $D$ es un múltiplo de rotacional.

Si quiero idear un operador "físico" que tenga la misma propiedad de invariancia, y por lo tanto sea igual a curl, hasta un factor, intentaría algo como "la velocidad angular media de las partículas uniformemente distribuidas en una esfera muy pequeña centrada en $ mathbfx$, ya que son arrastrados por el campo vectorial". (¡Esto es manifiestamente invariante, pero no manifiestamente un operador diferencial!)

[Here I should admit that, having occasionally tried, I've never convinced more than a fraction of a calculus class that it's possible to understand something in terms of the properties it satisfies rather than in terms of a formula. That's unsurprising, perhaps: it's not an obvious idea, and it's entirely absent from the standard textbooks.]

En cuanto a explicar las fórmulas para div y curl, debería poder hacerlo comenzando con las definiciones dadas en los artículos de Wikpedia tomando las integrales correspondientes en rectángulos y cajas. Estas definiciones tienen significados físicos bastante claros, al menos si sus alumnos se sienten cómodos con las integrales de línea y de superficie.

En cuanto a explicar d ^ 2 = 0: curl (grad f) = 0 porque la integral de línea de un gradiente sobre círculos pequeños es cero, por lo que los gradientes no pueden curvarse. (En otras palabras, si un campo vectorial tiene un rotacional distinto de cero en algún p, no podría definir un potencial consistente sobre un pequeño contorno cerrado alrededor de p). Y div(curl F) = 0 porque la integral de superficie de un curl sobre esferas pequeñas es cero, por lo que los curls no pueden divergir (es decir, fluir). Estas interpretaciones se usan todo el tiempo en las aplicaciones del teorema de Stokes a la física.

Esta es quizás una explicación cruda (y ciertamente no rigurosa), pero siempre es como he pensado en motivarla.

Sea $F = (F_1, F_2, F_3)$ un campo vectorial en $mathbbR^3$, y escriba $textcurl F = (G_1, G_2, G_3)$. Nos gustaría una situación en la que $G_1$ describa la rotación "instantánea" de $F$ sobre el eje $x$, $G_2$ la rotación sobre el eje $y$ y $G_3$ la rotación sobre el eje $z $-eje.

Así que pensemos en campos vectoriales que hacen precisamente eso. Tres simples (¡lineales!) que me vienen a la mente son $$H_1(x,y,z) = (0, -z, y)$$ $$H_2(x,y,z) = (z, 0, - x)$$ $$H_3(x,y,z) = (-y, x, 0)$$ Entonces, para medir cuánto gira $F$ alrededor, por ejemplo, del eje $z$, tiene sentido mirar algo que compare qué tan similar es $F$ a $H_3$. El producto escalar $F(x,y,z) cdot H_3(x,y,z)$ parece razonable, que es precisamente $-yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z)$.

Esto sugiere que definir $$G_1(x,y,z) approx -zF_2(x,y,z) + yF_3(x,y,z)$$ $$G_2(x,y,z) approx zF_1( x,y,z) - xF_3(x,y,z)$$ $$G_3(x,y,z) approx -yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z)$$ podría dar algo cercano a lo que queremos. Pero esta es una forma muy cruda de medir la rotación "instantánea"; de hecho, se podría decir que es una especie de aproximación lineal. Por lo tanto, nos vemos obligados a reemplazar los términos lineales con sus correspondientes derivaciones: $$G_1(x,y,z) = -fracpartialpartial zF_2 + fracpartialpartial y F_3$$ $$G_2(x,y,z) = fracparcialparcial zF_1 - fracparcialparcial xF_3$$ $$G_3(x,y, z) = -fracpartialpartial yF_1 + fracpartialpartial xF_2,$$ que es precisamente el rotacional.

Esta heurística también funciona con la divergencia, pero considere $(H_1, H_2, H_3) = (x,y,z)$.

Al final de todo puedes encontrar las anotaciones de otros usuarios, tú además tienes el poder mostrar el tuyo si te gusta.

¡Haz clic para puntuar esta entrada!
(Votos: 0 Promedio: 0)



Utiliza Nuestro Buscador

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.