Luego de de nuestra larga búsqueda de datos dimos con la solución este asunto que presentan algunos lectores. Te brindamos la respuesta y nuestro objetivo es resultarte de mucha apoyo.
Solución:
Si el Sol desapareciera mágicamente, la Tierra volaría tangente a su órbita. La trayectoria se vería así:
El punto verde muestra la posición de la Tierra en el instante en que desaparece el Sol. La distancia del sol $ d $, es la distancia orbital de la Tierra y la velocidad $ v $ es la velocidad orbital de la Tierra.
Cuando el Sol desaparece, la Tierra se dirige en línea recta a velocidad constante, como lo muestra la línea discontinua horizontal, por lo que después de un tiempo $ t $ se ha movido una distancia $ x = vt $ como he marcado en el diagrama. La pregunta ahora es cómo se puede conservar el momento angular.
La respuesta es que el momento angular viene dado por la ecuación vectorial:
$$ mathbf L = mathbf r times m mathbf v $$
donde $ mathbf r $ es el vector de posición, $ mathbf v $ es el vector de velocidad y $ veces $ es el producto cruzado. Vamos a terminar con el vector. $ mathbf L $ señalando de la página y la magnitud de $ L $ es dado por:
$$ | mathbf L | = m , | mathbf r | , | mathbf v | , sin theta etiqueta 1 $$
pero mirando nuestro diagrama vemos que:
$$ sin theta = frac d mathbf r $$
y si sustituimos esto en nuestra ecuación (1) por el momento angular obtenemos:
$$ | mathbf L | = m , | mathbf r | , | mathbf v | , frac d = m , | mathbf v | , d etiqueta 2 $$
Y esta ecuación nos dice que el momento angular es constante, es decir, depende solo de la velocidad constante $ mathbf v $ y la distancia orbital original $ d $.
Aunque inicialmente parece extraño, no es necesario que un objeto se mueva en un círculo para tener un momento angular constante. De hecho, para cualquier sistema, el momento angular es siempre constante, a menos que algún par externo actúe sobre el sistema.
Regrese a 0:46 en el video para ver cómo se calcula el momento angular.
$$ L = mrv_ rot $$
donde $ L $ es el momento angular, $ m $ es la masa del objeto, $ r $ es la distancia del objeto desde el centro de rotación, y $ v_ rot $ es la velocidad de movimiento a lo largo del círculo centrado en el centro de rotación con un radio igual a $ r $. Por lo general, el momento angular se emplea de manera más útil cuando los objetos están experimentando un movimiento circular porque el cálculo es más fácil:$ m $, $ r $, y $ v_ rot $ son todos constantes, lo que significa $ L $ es constante.
Sin embargo, no es solo el movimiento circular el que puede aprovechar el momento angular de manera útil. Un planeta orbita una estrella en una órbita elíptica y, sin embargo, el momento angular es constante. Dado que la masa de un planeta no cambia en gran medida, podemos concluir que la velocidad del planeta ($ v_ rot $) es grande cuando está cerca de la estrella ($ r $ es pequeño) y viceversa. En este sistema, el centro de rotación es la estrella que no es el centro geométrico de la órbita (el centro de la elipse).
Podemos ir más allá y decir que el momento angular se puede calcular con respecto a cualquier punto del espacio, es decir, el punto que llamamos “centro de rotación” es solo una etiqueta que se puede colocar en cualquier lugar. No tiene que haber nada significativo en el centro de rotación. Es cierto que para la mayoría de los problemas, colocar el centro de rotación en el centro del movimiento circular es lo correcto a efectos de cálculo, ya que eso hará que el momento angular calculado sea constante. [1] En el video a 1:56, después de que el sol desaparece, se calcula el momento angular de la Tierra con respecto al mismo punto: donde solía estar el sol. Entonces, $ m $, $ r $, y $ v_ rot $ son todos iguales, y por lo tanto $ L $ es el mismo. A medida que la Tierra se mueve en línea recta, la distancia al punto ($ r $) aumenta mientras que la velocidad en la dirección de lo que sería un movimiento circular ($ v_ rot $) disminuye. Esta disminución se produce porque el movimiento requerido para el movimiento circular está en una dirección diferente al movimiento real del planeta, por lo que cada vez menos de la velocidad de la Tierra cuenta para $ v_ rot $. [2] Los cambios en $ r $ y $ v_ rot $ se cancelan entre sí, dejando un momento angular constante.
[1] Aparte de algo más técnico: el momento angular es constante si la dirección de la suma de la fuerza total sobre un objeto es paralela a una línea que une el objeto y el centro de rotación designado. Tenga en cuenta que la fuerza gravitacional entre un planeta y la estrella que orbita satisface esta restricción. Lo mismo ocurre con un objeto con fuerza total cero sobre él, ya que el vector cero es paralelo a todos los vectores.
[2] Para un ejemplo más simple de esto: si conduzco en mi automóvil en dirección noreste, solo una parte de la velocidad de mi automóvil me lleva hacia el norte. Si me dirijo a la derecha para ir en una dirección más hacia el este mientras mantengo la misma velocidad, entonces menos de mi velocidad estará en la dirección norte, por lo que no progresaré tanto hacia el norte en comparación con mi dirección anterior.
El momento angular se mide en relación con algún origen. Entonces, el momento angular de un sistema es diferente para diferentes marcos de referencia. Sin embargo, para un sistema cerrado en un marco de referencia dado, el momento angular total del sistema es constante en el tiempo.
Si establecemos nuestro origen en el centro de rotación, el momento angular del cuerpo en órbita es
$$ L = mr_0v $$
donde $ r_0 $ es la distancia entre el cuerpo y el centro de rotación.
Una vez que la fuerza desaparece, el cuerpo continúa moviéndose a lo largo de una línea recta tangencialmente a su órbita anterior. Su trayectoria puede estar dada por
$$ vec r (t) = begin pmatrix -vt \ r_0 end pmatrix $$
y el momento angular es
$$ L = m ; vec r times vec v = m begin pmatrix -vt \ r_0 end pmatrix times begin pmatrix -v \ 0 end pmatrix = mr_0v $$
Como puede ver, se conserva el momento angular.
Sin embargo, al hacer esto, estamos tratando la fuerza centrípeta en el cuerpo como una fuerza externa (estamos descuidando la fuerza de reacción de la tercera ley de newton en otro objeto). Dado que el momento angular solo se conserva para sistemas cerrados, el momento angular no se conserva en general en esta aproximación. Esta aproximación solo funciona porque hemos elegido nuestro origen de modo que el vector de posición $ vec r $ es siempre paralelo a la fuerza $ vec F $ en el cuerpo y por lo tanto la fuerza no produce torque $ vec r times vec F $, de manera que el momento angular se conserva nuevamente. Si eligiéramos cualquier otro origen, no funcionaría.
Si no hacemos tal suposición y calculamos el momento angular de dos objetos que orbitan entre sí en un sistema cerrado (como la tierra y el sol), podemos elegir cualquier origen que queramos y el momento angular siempre se conserva.
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