El paso a paso o código que verás en este post es la resolución más rápida y efectiva que hallamos a esta duda o dilema.
Solución:
Los vectores unitarios curvilíneos son engañosos porque su expresión depende del punto al que corresponda el vector. Por ejemplo, el vector $mathbf v=v_x,hat x$ siempre se puede expresar de esta manera sin importar dónde “se encuentra” el vector. Sin embargo, si este vector $mathbfv$ está ubicado en el eje x, entonces solo tiene un $que r$ componente utilizando vectores unitarios esféricos. Si $mathbfv$ se encuentra en el $-y$ eje, entonces solo tiene un $sombrerophi$ componente utilizando vectores unitarios esféricos. Por el contrario, esto significa que decir que un vector es, por ejemplo, $mathbf v=v_r,hat r$ no es suficiente para determinar la dirección real del vector (solo sabemos que está apuntando hacia o desde el origen, pero no desde donde apunta). Esta es la razón típica por la que se recomienda convertir a vectores unitarios cartesianos antes de realizar integrales vectoriales en general, ya que los vectores unitarios cartesianos no tienen esta dependencia.
En general, si tienes algún vector $mathbf v=v_x,hat x+v_y,hat y+v_z,hat z$ ubicado en el punto espacial $(x,y,z)$entonces podemos transformar la representación usando las siguientes transformaciones:
$$hat x=sinthetacosphi,hat r+costhetacosphi,hattheta-sinphi,hatphi$$$$que y=senthetasinphi,hat r+costhetasinphi,hattheta+cosphi,hatphi$$$$hat z=costheta,hat r-sintheta,hatphi$$
dónde
$$theta=tan^-1left(fracsqrtx^2+y^2zright)$$$$phi=tan^-1left(fracyxright)$$
¿Realmente combinamos los 3 vectores unitarios en coordenadas esféricas para obtener un determinado vector…
Sí, solo necesita especificar también dónde está el vector. En otras palabras, decir $mathbf v=v_r,hat r+v_theta,hattheta+v_phi,hatphi$ no es suficiente para especificar el vector.
Conceptualmente, hay una diferencia entre puntos y vectores. Dado un conjunto de coordenadas, cada punto lleva consigo su propio marco inducido por las líneas de coordenadas, una base del espacio vectorial de vectores tangentes con raíz en ese punto.
En el espacio euclidiano plano, cualquier marco de este tipo se extiende globalmente, e incluso podemos usarlo para describir puntos en términos de vectores de posición relativos a algún punto de origen elegido. En ese caso, podríamos arreglar un marco para describir todo, pero incluso cuando eso sea posible, todavía puede tener sentido expresar las cosas en términos de los diferentes marcos que cambian de un punto a otro. Hay valor en, digamos, tener una dirección ‘hacia arriba’ que siempre apunte lejos del centro de la tierra, sin importar dónde se encuentre.
Tiene razón al afirmar que en coordenadas esféricas, puede representar un vector como simplemente $rmathbfsombreroe_r$.
Las cantidades angulares aparecen cuando estás tratando de entender qué $mathbfsombreroe_r$ es en términos de otra base, digamos una cartesiana, allí los ángulos se muestran como era de esperar, o si está calculando las tasas de cambio de un vector en coordenadas esféricas, en cuyo caso las derivadas de $mathbfsombreroe_r$ tendrá componentes en el $mathbfhate_theta$ y $mathbfhate_phi$ direcciones.
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