Posteriormente a investigar con especialistas en este tema, programadores de varias áreas y profesores dimos con la solución a la pregunta y la compartimos en esta publicación.
Solución:
Para una ecuación diferencial lineal $$a_n(x)fracd^nydx^n+a_n-1(x)fracd^n-1ydx^n -1+cdots+a_1(x)fracdydx+a_0(x)y=g(x),$$ decimos que es homogénea si y solo si $g(x) equivalente a 0$. Puedes escribir muchos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales para comprobar si son homogéneas o no. Por ejemplo, $y”sin x+ycos x=y’$ es homogéneo, pero $y”sin x+ytan x+x=0$ no lo es y así sucesivamente. Siempre que pueda escribir la ecuación diferencial lineal en la forma anterior, podrá saber qué es $g(x)$ y podrá determinar si es homogénea o no.
La prueba más simple de homogeneidad y definición al mismo tiempo, no solo para ecuaciones diferenciales, es la siguiente:
Una ecuación es homogéneo si cada vez que $varphi$ es una solución y $lambda$ escalar, entonces $lambdavarphi$ también es una solución.
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