Solución:
Imagina que tienes un círculo que es tangente al interior de la curva. Si el radio del círculo es pequeño, entonces encaja, pero si el radio llega a ser demasiado grande, no encaja en una curva cerrada.
El círculo más grande que se ajusta a la curva en cualquier punto se llama círculo osculador o “beso”.
El radio de curvatura es el radio del círculo osculador.
La curvatura es el recíproco del radio de curvatura.
Una vez que tenga una fórmula que describa la curvatura, encuentre la curvatura máxima (o radio mínimo) de la misma manera que encuentra los extremos de cualquier función suave.
La curvatura en un punto es lo que parece: una medida de cuán “curvada” es una curva. Cuán bruscamente se dobla en ese punto, por así decirlo. Hay muchas (y muy variadas) nociones de curvatura, pero por el sonido de su pregunta, esto es de lo que está hablando.
Para entender su segunda pregunta, debe ser un poco más preciso al decirnos qué definición de curvatura está utilizando, creo.
EDITAR:
De varios comentarios y su edición a su publicación, mi único comentario sobre por qué la curvatura es máxima en el punto donde la derivada = 0 es que si imagina que la curvatura se traza en un gráfico (un gráfico de curvatura frente al tiempo $ t $) , probablemente haya un lugar donde la curvatura alcance algún máximo local. Esto será como un pico, se verá como la cima de una colina. Por esta razón la derivada con respecto al tiempo será cero. Depende de la naturaleza de su curva si se trata de un máximo local o un máximo global.
Mientras caminas por una curva, giras. En cualquier punto dado, la velocidad a la que gira (en comparación con la velocidad a la que camina) es la misma que si estuviera recorriendo la circunferencia de un círculo de cierto radio. El recíproco de ese radio es la curvatura. Entonces, al caminar por un punto en la curva donde la curvatura es $ 1 $, se sentirá como un círculo de radio $ 1 $, mientras que la curvatura de $ 2 $ corresponde a un círculo con radio $ 0.5 $, y así sucesivamente. (Al menos, esa es una definición de curvatura).
En cuanto a cuándo encontrar el máximo, la diferenciación y la búsqueda de series funcionan de la misma manera que en cualquier otra aplicación: en el punto donde la curvatura es tan grande como va a ser, pasa de aumentar a disminuir, lo que significa que la derivada va de positivo a negativo. Debe ser $ 0 $ en el medio.