Posterior a de esta larga selección de datos dimos con la solución este disgusto que presentan ciertos lectores. Te regalamos la respuesta y nuestro objetivo es que resulte de mucha apoyo.
Solución:
Suponga que tiene un solenoide infinitamente largo hecho de bucles “apilados” de radio $ a $. El campo magnético es entonces verdaderamente 0 en el exterior, y todas las líneas de campo están confinadas dentro del solenoide. Entonces, ¿cómo puede un bucle exterior (de radio $ b ge a $) que rodea el solenoide “saber” que en realidad hay un campo magnético cambiante dentro del solenoide, ya que está completamente confinado?
Primero, el flujo magnético se define mediante esta expresión: begin ecuación tag 1 Phi_B equiv int _ mathcal S _ text sol vec B cdot d vec S, end ecuación Donde $ mathcal S _ text sol $ es la aera transversal del solenoide. Dado que el campo se desvanece fuera del solenoide, puede usar el bucle exterior aera $ S _ text bucle $ en su lugar, y expresar el campo magnético en términos del vector-potencial magnético: $ vec B = vec nabla veces vec A $: begin ecuación etiqueta 2 Phi_B = int _ mathcal S _ text loop vec B cdot d vec S = int _ mathcal S _ text loop ( vec nabla times vec A) cdot d vec S. end ecuación Según el teorema de Stokes, entonces tienes el flujo magnético expresado como una integral de línea alrededor del bucle: begin ecuación tag 3 Phi_B equiv oint _ mathcal C _ text bucle vec A _ text afuera cdot d vec ell. end ecuación El potencial vectorial no desaparece fuera del solenoide (debe ser continuo a través del límite del solenoide): begin align tag 4 vec A _ text inside & = frac 1 2 ; vec B times vec r, & vec A _ text afuera & = frac a ^ 2 2 , rho ^ 2 ; vec B times vec r, end align donde $ a $ es el radio del solenoide y $ rho $ es la variable cilíndrica. $ vec r $ es la posición del vector de cualquier punto en el espacio, y $ b ge a $ es el radio del bucle. Usando este potencial vectorial, es muy fácil verificar que begin align vec nabla times vec A _ text inside & = vec B, & vec nabla times vec A _ text outside & = 0, end align y la expresión (3) da $ Phi_B = pi B , a ^ 2 $.
Entonces, el bucle no siente el campo magnético en sí, pero puede interactuar con el potencial vectorial. los emf es la derivada temporal del flujo: begin ecuación tag 5 mathscr E = – : frac d Phi_B dt = – : frac d dt ( pi B , a ^ 2) = – : pi dot B , a ^ 2. end ecuación Ahora, el emf en sí mismo se define como la integral de línea del campo eléctrico inducido en el bucle por el campo magnético variable en el tiempo dentro del solenoide: begin ecuación tag 6 mathscr E equiv oint _ mathcal C _ text bucle vec E cdot d vec ell = pm , E ; 2 pi b, end ecuación Entonces obtenemos $ E (t) = frac a ^ 2 2 , b ; | , dot B , | $ en el bucle o begin align tag 7 vec E _ text inside (t, , vec r ) & = – : frac parcial parcial t , vec A _ text interior = – : frac 1 2 ; frac parcial vec B parcial t veces vec r, \[18pt]
vec E _ text afuera (t, , vec r) & = – : frac parcial parcial t , vec A _ texto exterior = – : frac a ^ 2 2 , rho ^ 2 ; frac parcial vec B parcial t times vec r, tag 8 end align que concuerda con la ecuación de Maxwell: begin align tag 9 vec nabla times vec E _ text inside & = – : frac partial vec B partial t, \[18pt]
vec nabla times vec E _ text outside & = 0. tag 10 end align Tenga en cuenta que $ vec nabla cdot vec E = 0 $ en todas partes (¡haga todos los cálculos detallados para verificar esto!). Entonces la conclusión es que el bucle no indirectamente sienta el campo magnético del solenoide con la ayuda de su vector-potencial, fuera del solenoide.
Complemento: Tenga en cuenta que $ vec B $ debe variar muy lentamente, o variar linealmente con $ t $, o de lo contrario habrá algunas ondas electromagnéticas fuera del solenoide. Tenemos begin ecuación etiqueta 11 vec nabla times vec B _ text outside = 0 = mu_0 , vec J _ text afuera + frac 1 c ^ 2 , frac parcial parcial t , vec E _ text afuera. end ecuación La densidad actual $ vec J $ desaparece dentro y fuera del solenoide (¡y es singular en su límite!). Luego, la ecuación (11) y la expresión (8) dan begin ecuación tag 12 0 = frac 1 c ^ 2 , frac partial partial t , vec E _ text afuera propto frac 1 c ^ 2 , frac parcial ^ 2 , vec B parcial t ^ 2. end ecuación Esto también es true dentro del solenoide.
Basado en la ley de inducción de Faraday: $$ mathcal E _ EMF = oint_ C_1 E cdot dl = – frac d Phi dt ~, $$ donde $ E $ es el campo eléctrico inducido y $$ frac d Phi dt = frac d B dt pi r_2 ^ 2. $$ Luego, al lado izquierdo de esta ecuación, asumiendo que la integral está sobre una curva circular $ C_1 $ con un radio $ r = r_1 $ (porque está calculando el campo a esa distancia), y que $ E $ es uniforme sobre esa curva, tenemos: $$ E times text circunferencia de un círculo de radio r_1 = E times 2 pi r_1 ~. $$ para que $$ begin align E times 2 pi r_1 & = – frac dB dt pi r_2 ^ 2 \ implica E & = – frac dB dt left ( frac r_2 ^ 2 2r_1 right) end align $$ Por lo tanto, con los cálculos de la derecha se ve que un campo eléctrico es inducido por el cambio de $ B $ en el solenoide, este el campo depende de la forma tanto del anillo como del solenoide ($ r_1 $ y $ r_2 $) y hace que los electrones se muevan en el anillo más grande; por tanto, se induce una corriente eléctrica en ese anillo.
La solución analítica al problema de dos bucles (un solenoide dentro de un anillo conductor) viene dada por Armin R (aquí) que muestra cómo el campo eléctrico inducido en el anillo más grande depende de los parámetros del problema (los radios).
Aquí, intento extender Armin Rla contribución al responder la parte esencial (más interesante) de la pregunta,
¿Cómo es que el bucle grande “sabe” cuál es el flujo, si asumimos que el campo magnético $ B $ debido al solenoide es insignificante fuera de la sección transversal más pequeña del solenoide, de modo que no hay un campo que realmente atraviese el material del bucle conductor más grande. … Parece que no hay forma de que el bucle “sienta” el flujo magnético.
Para comprender cómo el anillo más grande “siente” el flujo magnético cambiante, uno debe recordar que las ecuaciones de Maxwell que describen la dinámica de los campos electromagnéticos, predicen que cualquier cambio en el campo electromagnético en algún punto se propagaría con la velocidad de la luz en todo el espacio. . Esto sucede, por ejemplo, en una antena donde la oscilación de la carga eléctrica produce ondas que podemos “sentir” (detectar) desde lejos.
Lo mismo sucede en este caso, pero tales ‘detalles’ o complejidades son eliminados por el escenario simplificado del problema; es decir, el problema se da en el contexto de estado estable electrodinámica donde la dinámica transitoria ha desaparecido y no se considera cómo el efecto del cambio en el campo magnético localizado $ B $ se propaga en el espacio-tiempo para alcanzar el anillo más grande. Esto queda claro al notar que en la solución analítica por Armin R, todo es instantáneo, $$ E ( color rojo t) propto – frac d B ( color rojo t) dt ~; $$ es decir, cambiar $ B $ cambia $ E $ instantáneamente (sin retraso de tiempo) y esto aparentemente $ ^ ast $ contradice la relativista naturaleza (invariancia de Lorentz) de las ecuaciones de Maxwell – la finito tiempo necesario para que los cambios se propaguen. Entonces, el escenario real (completo) es que cuando se cambia el campo localizado $ B $, este efecto se propaga (como ondas) en el espacio-tiempo con la velocidad de la luz y, en última instancia, después de $ Delta t sim frac r_2 – r_1 c $, alcanza los portadores de carga (electrones) en el anillo más grande. De esta forma, el anillo “siente” el efecto del cambio en el campo magnético del solenoide (a pesar de que el campo magnético esté localizado).
Creo que considerar los potenciales de Liénard-Wiechert que describen el efecto electromagnético clásico de una carga puntual eléctrica en movimiento, en términos de campos electromagnéticos relativistas que varían en el tiempo, será esclarecedor con respecto a la pregunta actual.
$ ^ ast $ Esto es solamente un aparente (no real) contradicción, como se señaló en un comentario de John Duffield: “Uno debería hablar correctamente del campo electromagnético $ F _ mu nu $ en lugar de $ E $ o $ B $ por separado” [$S$ 11.10 of Jackson’s “Classical Electrodynamics”]. Aquí, pretendo enfatizar la instantaneidad.