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Solución:
No hay una respuesta perfecta a esta pregunta. Para polinomios hasta el grado 4, existen fórmulas de solución explícitas similares a las de la ecuación cuadrática (las fórmulas de Cardano para las ecuaciones de tercer grado, ver aquí, y la fórmula de Ferrari para el grado 4, ver aquí).
Para grados superiores, no existe una fórmula general (o más precisamente, ninguna fórmula en términos de suma, resta, multiplicación, división, constantes arbitrarias y raíces $n$-ésimas). Este resultado se demuestra en la teoría de Galois y se conoce como el teorema de Abel-Ruffini. Editar: Tenga en cuenta que para algunos casos especiales (p. ej., $x^n – a$), existen fórmulas de solución, pero no se generalizan a todos los polinomios. De hecho, se sabe que solo una parte muy pequeña de los polinomios de grado $ge 5$ admiten una fórmula de solución utilizando las operaciones enumeradas anteriormente.
Sin embargo, encontrar soluciones a fórmulas polinómicas es bastante fácil utilizando métodos numéricos, por ejemplo, el método de Newton. Estos métodos son independientes del grado del polinomio.
Me gustaría mostrarle este diagrama de flujo que resume todos los métodos para resolver manualmente polinomios cuárticos: 
El teorema de imposibilidad de Abel establece que no hay algebraico solución de ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior
Pero Jordan ha demostrado que cualquier ecuación algebraica se puede resolver usando funciones modulares. Hay fórmulas explícitas sin necesidad de utilizar Tschirnhausen u otras transformaciones. Sin embargo, la aplicación de este teorema en la práctica es muy difícil debido a la complejidad de las integrales hiperelípticas relevantes y las funciones theta de género superior. (Fórmulas generales ver aquí)
Hay fórmulas generales para las ecuaciones generales $$x^n-x+t=0$$ y $$ax^2mu+bx^mu-x^nu+c=0$$ (ver aquí y aquí)
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