Solución:
No existe una respuesta perfecta a esta pregunta. Para polinomios hasta el grado 4, existen fórmulas de solución explícitas similares a las de la ecuación cuadrática (las fórmulas de Cardano para las ecuaciones de tercer grado, ver aquí, y la fórmula de Ferrari para el grado 4, ver aquí).
Para grados superiores, no existe una fórmula general (o más precisamente, ninguna fórmula en términos de suma, resta, multiplicación, división, constantes arbitrarias y raíces $ n $ -ésimas). Este resultado se prueba en la teoría de Galois y se conoce como el teorema de Abel-Ruffini. Editar: Tenga en cuenta que para algunos casos especiales (por ejemplo, $ x ^ n – a $), existen fórmulas de solución, pero no se generalizan a todos los polinomios. De hecho, se sabe que solo una pequeña parte de los polinomios de grado $ ge 5 $ admiten una fórmula de solución utilizando las operaciones enumeradas anteriormente.
Sin embargo, encontrar soluciones a fórmulas polinomiales es bastante fácil usando métodos numéricos, por ejemplo, el método de Newton. Estos métodos son independientes del grado del polinomio.
Me gustaría mostrarles este diagrama de flujo que resume todos los métodos para resolver hasta polinomios cuárticos manualmente: 
El teorema de imposibilidad de Abel establece que no hay algebraico solución de ecuaciones polinomiales de grado cinco o superior
Pero Jordan ha demostrado que cualquier ecuación algebraica se puede resolver utilizando funciones modulares. Hay fórmulas explícitas sin la necesidad de utilizar Tschirnhausen u otras transformaciones. Sin embargo, la aplicación de este teorema en la práctica es muy difícil debido a la complejidad de las integrales hiperelípticas relevantes y las funciones theta de género superior. (Fórmulas generales ver aquí)
Hay fórmulas generales para las ecuaciones generales $$ x ^ n-x + t = 0 $$ y $$ ax ^ {2 mu} + bx ^ mu-x ^ nu + c = 0 $$ (ver aquí y aquí)