Solución:
Las reglas de divisibilidad generalmente se basan en que los restos de los pesos de los dígitos tengan cierta regularidad. El método estándar para la divisibilidad por $ 3 $ en el sistema decimal funciona porque los pesos de todos los dígitos tienen un resto $ 1 $ módulo $ 3 $. Lo mismo ocurre con $ 9 $. Por $ 11 $, las cosas son solo un poco más complicadas: dado que los dígitos impares tienen un resto de $ 1 $ y los dígitos pares tienen un resto de $ -1 $, debe tomar la suma alterna de dígitos para probar la divisibilidad por $ 11 $.
En base $ 5 $, tenemos la misma situación para $ 3 $ que para $ 11 $ en base $ 10 $: El resto de los pesos de los dígitos impares es $ 1 $ y el de los dígitos pares es $ -1 $. Por lo tanto, puede verificar la divisibilidad por $ 3 $ tomando la suma alterna de los dígitos.
De manera más general, en la base $ b $, la suma de dígitos funciona para los divisores de $ b-1 $ y la suma alterna de dígitos funciona para los divisores de $ b + 1 $.
Sume los dígitos, pero multiplique los dígitos pares por 2.
Esto funciona porque $ 5 equiv 2 mod 3 $, $ 5 ^ 2 equiv 1 mod 3 $, etc.
El $ n = (d_m cdots d_0) _5 $ entonces $ n $ es divisible por $ 3 $ sif $ d_0-d_1 + d_2-d_3 + cdots $ es divisible por $ 3 $.
Esto se sigue de $ 5 ^ k equiv 1 bmod 3 $ si $ k $ es par y $ 5 ^ k equiv -1 bmod 3 $ si $ k $ es impar.