Después de consultar con expertos en este tema, programadores de varias áreas y profesores dimos con la respuesta al dilema y la plasmamos en esta publicación.
Solución:
En el centro de un cuenco hay equilibrio.
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Ponle una pelota de ping pong. Si esta bola alguna vez se sacude ligeramente fuera del equilibrio, inmediatamente volverá a rodar. Un equilibrio “a prueba de sacudidas” se llama estable.
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Ahora, dale la vuelta al bol y pon la bola encima. Este es un equilibrio. Pero a la menor sacudida, la pelota rueda hacia abajo. Este equilibrio “no a prueba de sacudidas” se llama inestable.
se trata de la energía potencial. Porque, los sistemas siempre tienden hacia la energía potencial más baja. El fondo del cuenco tiene la energía potencial más baja, por lo que la pelota quiere retroceder cuando se desplaza ligeramente. La parte superior del recipiente invertido tiene la energía potencial más alta, y cualquier punto vecino tiene una energía más baja. Así que la pelota no tiene tendencia a rodar hacia arriba.
Matemáticamente, se trata de averiguar si el equilibrio es un mínimo o un máximo. Sólo un mínimo es estable.
Es posible que, para muchos fines prácticos/físicos, pueda determinar esto simplemente mirando el gráfico de la energía potencial.
Pero matemáticamente, esto se puede resolver directamente a partir de la expresión de energía potencial $U$. Basta con mirar el signo de la doble derivada (derivada de posición).
- Si es positivo, $U”_xx>0$entonces el valor en el equilibrio está a punto de aumentar, por lo que es un mínimo.
- Si es negativo, $U”_xx<0$entonces el valor en el equilibrio está a punto de disminuir, por lo que es un máximo.
Si tiene una función 2D, entonces tiene más de una derivada doble, $U”_xx$, $U”_xy$, $U”_yx$ y $U”_aa$. En este caso, debe recopilarlos en la llamada matriz hessiana y observar los valores propios de esa matriz. Si ambos son positivos, entonces el punto es un mínimo; si ambos son negativos, entonces el punto es un máximo. (Y si es una mezcla, entonces el punto no es ni un mínimo ni un máximo, sino un punto de silla).
Esto puede ser un poco más de lo que esperaba, pero es un método matemático bastante elegante.
¿Es suficiente afirmar que para cualquier no-null coordenadas, el campo eléctrico no es cero, ergo el equilibrio es inestable?
No, eso no es suficiente.
Tiene razón: en el punto de equilibrio, la fuerza eléctrica debe ser null.
Pero además: La dirección de la fuerza eléctrica en el alrededores de la posición de equilibrio es importante.
- Si la fuerza eléctrica apunta hacia la posición de equilibrio, entonces el equilibrio es estable.
- Si la fuerza eléctrica apunta lejos de la posición de equilibrio, entonces el equilibrio es inestable.
¿O hay una forma más elegante de demostrarlo?
Por lo general, es más fácil analizar el equilibrio con energía potencial que con fuerzas.
- Si la energía potencial es mínima, entonces el equilibrio es estable.
- Si la energía potencial es máxima, entonces el equilibrio es inestable.
Si no hay carga en el origen (que está produciendo el campo eléctrico), entonces por la ley de Gauss (en forma derivada), la divergencia del campo eléctrico es 0: $fracparcial ^2 Vparcial x^2 + fracparcial ^2 Vparcial y^2 + fracparcial ^2 Vparcial z^2 = 0$. A menos que estas tres cantidades sean cero, entonces una de ellas debe ser negativa, lo que significa que en esa dirección, el equilibrio es inestable.
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