Solución:
Sí, esto es un problema.
Ingenuamente, este problema no se puede abordar, y llegaremos a eso en un momento. Pero en 1917 los matemáticos ya notaron que los “conjuntos normales” no se contienen a sí mismos y, de hecho, tienen una propiedad aún más fuerte. Es decir, no hay cadenas decrecientes infinitas en $ in $, por lo que no solo $ a notin a $ también es cierto que $ a notin b $ siempre que $ b in a $, y que $ a notin c $ siempre que para algunos $ b en un $ tengamos $ c en b $; y más generalmente no hay una secuencia $ x_n $ tal que $ x_ {n + 1} in x_n $ para todos los $ n $.
Esto es exactamente lo que llegó a formalizar el axioma de regularidad. Dice que la relación de pertenencia está bien fundada, lo que, asumiendo el axioma de elección, equivale a decir que no hay cadenas decrecientes. En particular $ A notin A $, para cualquier conjunto $ A $.
Pero sabemos, hoy en día, que es consistente en relación con los otros axiomas de la teoría de conjuntos moderna (léase: $ sf ZFC $) que hay conjuntos que se incluyen a sí mismos, a saber, $ x in x $. Incluso podemos llegar a tener $ x = {x } $. Incluso puede organizar infinitos conjuntos de la forma $ x = {x } $.
Esto muestra que ingenuamente no podemos probar ni refutar que los conjuntos que se contienen a sí mismos existen. Porque la teoría de conjuntos ingenua no tiene axiomas formales, y generalmente se toma como un subconjunto de axiomas que incluyen muy poco de $ sf ZFC $ en términos de axiomas, y ciertamente no incluye el axioma de regularidad.
Pero también nos dice que no podemos señalar un conjunto que se incluye a sí mismo, si no asumimos el axioma de regularidad. Dado que estos conjuntos no se pueden definir de una manera nada trivial. Pueden existir y pueden no existir, dependiendo del universo de conjuntos en el que nos encontremos. Pero sabemos que para hacer teoría de conjuntos ingenua y aún más, podemos asumir con seguridad que esta situación nunca ocurre.
Supongo que te estás preguntando qué es lo que hace que un gran hombre se preocupe por un problema tan trivial. El siguiente extracto es la propia explicación de Russell de su viaje mental:
Me llevé a esta contradicción al considerar la prueba de Cantor de que no existe el mayor número cardinal. Pensé, en mi inocencia, que el número de todas las cosas que hay en el mundo debe ser el mayor número posible, y apliqué su prueba a este número para ver qué pasaba. Este proceso me llevó a la consideración de una clase muy peculiar. Pensando en las líneas que hasta ahora me habían parecido adecuadas, me pareció que una clase a veces es, y otras no, un miembro de sí misma. La clase de cucharaditas, por ejemplo, no es otra cucharadita, pero la clase de cosas que no son cucharaditas, es una de las cosas que no son cucharaditas. Parecía haber instancias que no son negativas: por ejemplo, la clase de todas las clases es una clase. La aplicación del argumento de Cantor me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y estos, al parecer, deben formar una clase. Me pregunté si esta clase es miembro de sí misma o no. Si es un miembro de sí mismo, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que no debe ser miembro de sí mismo. Si no es un miembro de sí mismo, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase y, por lo tanto, debe ser un miembro de sí mismo. Así, cada alternativa conduce a su contrario y hay una contradicción.
Al principio pensé que debía haber algún error trivial en mi razonamiento. Inspeccioné cada paso bajo un microscopio lógico, pero no pude descubrir nada malo. Le escribí a Frege al respecto, quien respondió que la aritmética se tambaleaba y que veía que su Ley V era falsa. Frege estaba tan perturbado por esta contradicción que abandonó el intento de deducir la aritmética de la lógica, al que, hasta entonces, había dedicado principalmente su vida. Como los pitagóricos cuando se enfrentaron a inconmensurables, se refugió en la geometría y aparentemente consideró que la obra de su vida hasta ese momento había sido mal encaminada.
Fuente: Russell, Bertrand. Mi desarrollo filosófico. Capítulo VII Principia Mathematica: Aspectos filosóficos. Nueva York: Simon and Schuster, 1959
La razón por la que hemos aprendido a desarrollar la lógica y la teoría de conjuntos con la “profundidad” es precisamente para evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua.
Una de las ideas clave con las que se basa la teoría de conjuntos ingenua es la idea de equiparar un predicado lógico con el conjunto de todas las cosas que satisfacen el predicado.
Esto es, creo, en realidad una idea filosófica antigua: “¿Qué es el azul?” “La colección de todas las cosas que llamaríamos azules”.
Con la idea de que los conjuntos se pueden usar para traducir nociones lógicas en objetos matemáticos reales (conjuntos) con los que luego podemos razonar, Cantor nos dio una comprensión (sin restricciones): para cualquier predicado lógico $ varphi $, hay un conjunto de todas las cosas satisfaciendo $ varphi $. En notación de constructor de clases, Cantor dijo que lo siguiente es un conjunto:
$$ {x mid varphi (x) } $$
No hay nada aquí que impida que un conjunto se contenga a sí mismo. De hecho, podemos probar que hay conjuntos que se contienen a sí mismos: si selecciona $ varphi $ para que sea el predicado “___ es un conjunto”, entonces la comprensión sin restricciones nos dice que hay un conjunto de todos los conjuntos. Y dado que es un conjunto, debe ser miembro de sí mismo.
Los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos se basan en construcciones; por ejemplo, el axioma de emparejamiento dice que si $ x $ y $ y $ son conjuntos, entonces $ {x, y } $ es un conjunto. Todos los conjuntos que podemos construir explícitamente usando estas construcciones tienen ‘profundidad’, pero los axiomas de Zermelo carecen de cualquier tipo de principio de inducción que nos permita probar que todos los conjuntos son “construibles”, o incluso que tienen una “profundidad”.
Y, de hecho, la teoría de conjuntos Z es consistente con la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos. De hecho, si elimina el axioma de fundación de ZFC, entonces eso también es consistente con la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos.