¿Cómo probar una expresión por el método de inducción matemática?

Recuerda que en las ciencias informáticas un problema puede tener diferentes resoluciones, por lo tanto nosotros aquí te enseñamos lo más óptimo y mejor.

Solución:

f[n_] := (n (n + 1) (2 n + 1))/6

Fácil. La demostración por inducción implica dos pasos:

1. Demostrar la relación para un valor inicial. Tomaremos n=1. Entonces f[1] debe ser igual a 1^2:

   f[1] == 1
   

   Verdadero

2. Demostrar que, si la relación se cumple para cierto n, también se cumple para n+1. En este caso, para n+1 tenemos que sumar (n+1)^2 a la suma que obtienes para n:

   f[n] + (n + 1)^2 == f[n + 1]// FullSimplify
   

   Verdadero

La inducción tiene muchas caras, una forma sencilla de probar la igualdad usando la inducción es

1. RSolve

Es superior porque no necesitamos saber la fórmula. Denotar s[n] ser la suma 1^2 + 2^2 +...+ n^2 para cada natural nentonces obviamente el axioma de inducción es equivalente a : s[n+1] - s[n] == (n+1)^2y la condición inicial es: s[0] == 0de este modo :

RSolve[s[n + 1] - s[n] == (n + 1)^2, s[0] == 0, s[n], n] // Factor

s[n] -> 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

hemos probado la igualdad.

Alternativamente podríamos usar

2. FindSequenceFunction

dando algunas sumas sucesivas 1^2 + 2^2 +...+ n^2parece que necesitamos el primero 5 sumas:

FindSequenceFunction[1, 5, 14, 30, 55, n] // Factor

1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

Otra forma más obvia de usar la inducción de forma más o menos implícita es

3. Sum

para un general natural n tenemos :

Sum[ k^2, k, n]

1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

También se puede encontrar una suma indeterminada, pero entonces el índice comienza en 0por lo tanto hay que sustituir n -> n+1 implicando, por ejemplo:

Sum[n^2, n] /. n -> n + 1 // Simplify

1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

Esta es otra forma que acabo de encontrar. Demuestra la expresión $$1 + 2 + cdots + n = dfracn(n+1)2.$$

prL[n_] := Sum[i, i, 1, n] // HoldForm; prR[n_] := 1/2*n*(n + 1);
eq1 = ReleaseHold[prL[1]] == prR[1], eq2 = prL[k] == prR[k], 
 eq3 = prL[k] + (k + 1) == prR[k] + (k + 1), 
 eq4 = prL[k + 1] == Factor[eq3[[2]]], 
 eq5 = eq4 /. k + 1 -> n, 2 + k -> n + 1, 
 eq6 = (eq2 /. k -> n) === eq5

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