Nuestros desarrolladores estrellas agotaron sus depósitos de café, buscando a tiempo completo por la solución, hasta que Víctor halló la respuesta en GitLab así que ahora la compartimos aquí.
Solución:
La forma de verificar algo así es verificar las definiciones una por una y ver si $g(x)$ satisface las propiedades necesarias.
Recuerda que $Fcolon Ato B$ es una biyección si y solo si $F$ es:
- inyectable: $F(x)=F(y)implica x=y$, y
- sobreyectiva: para todo $bin B$ hay algún $ain A$ tal que $F(a)=b$.
Asumiendo que $R$ representa los números reales, verificamos.
¿$g$ es inyectable?
Tome $x,yin R$ y suponga que $g(x)=g(y)$. Por lo tanto $2f(x)+3=2f(y)+3$. Podemos cancelar los $3$ y dividirlos por $2$, luego obtenemos $f(x)=f(y)$. Como $f$ es una biyección, entonces es inyectiva y tenemos que $x=y$.
¿$g$ es sobreyectiva?
Toma algo de $yin R$, queremos mostrar que $y=g(x)$ es decir, $y=2f(x)+3$. Resta $3$ y divide por $2$, nuevamente tenemos $fracy-32=f(x)$. Como antes, si $f$ era sobreyectiva entonces ya casi terminamos, simplemente denotamos $w=fracy-32$, dado que $f$ es sobreyectiva hay algo de $x$ tal que $f(x)= w$. Muestre ahora que $g(x)=y$ como se desea.
Alternativamente, puede usar teoremas. ¿Qué tipo de teoremas? La composición de las biyecciones es una biyección. Si $f$ es una biyección, demuestre que $h_1(x)=2x$ es una biyección y que $h_2(x)=x+2$ también es una biyección. Ahora tenemos que $g=h_2circ h_1circ f$ y por lo tanto es una biyección.
Por supuesto, esto es nuevamente bajo el supuesto de que $f$ es una biyección.
Primero demuestre que $g$ es inyectivo ($1$-$1$) demostrando que si $g(x)=g(y)$, entonces $x=y$. Esto no es difícil: si $g(x)=g(y)$, entonces $2f(x)+3=2f(y)+3$, entonces por álgebra elemental $f(x)=f(y) PS Por hipótesis $f$ es una biyección y por lo tanto inyectiva, entonces $x=y$.
Ahora demuestre que $g$ es sobreyectiva. Para hacer esto, debes demostrar que para cada $yinBbb R$ hay algún $xinBbb R$ tal que $g(x)=y$. Eso requiere encontrar un $xinBbb R$ tal que $2f(x)+3=y$ o, de manera equivalente, tal que $f(x)=fracy-32$. Pero se sabe que $f$ es una biyección y, por lo tanto, una sobreyección, así que sabes que hay es tal $xinBbb R$.
En general, esta es una de las dos formas naturales de mostrar que una función es biyectiva: mostrar directamente que es tanto inyectiva como sobreyectiva. La otra es construir su inversa explícitamente, demostrando así que posee una inversa y por lo tanto que debe ser una biyección. También podría adoptar ese enfoque para este problema:
$$g^-1(y)=f^-1left(fracy-32right);,$$
ya que
$$beginalign* gleft(f^-1left(fracy-32right)right)&=2fleft(f^-1left( fracy-32derecha)derecha)+3\ &=2izquierda(fracy-32derecha)+3\ &=y;, endalign* $$
y como $f$ es una biyección, $f^-1left(fracy-32right)$ existe para cada $yinBbb R$.
Agregado: Como me recuerda Marc, esto es solo la mitad del trabajo: si adopta este enfoque, debe mostrar directamente que $g$ es inyectiva, como hice anteriormente, o verificar que la función que llamé $g^-1 $ arriba es un inverso de dos lados, es decir, que $g^-1big(g(x)big)=x$ para $xinBbb R$. Esto no es particularmente difícil en este caso:
$$beginalign* g^-1grande(g(x)grande)&=g^-1grande(2f(x)+3grande)\ &=f^ -1left(fracbig(2f(x)+3big)-32right)\ &=f^-1big(f(x)big) &=x;, endalign*$$
ya que $f$ es una biyección.
Para probar que una función es biyectiva, necesitas probar que es inyectiva y también sobreyectiva.
“Inyectivo” significa que no hay dos elementos en el dominio de la función que se asignen a la misma imagen.
“Sobreyectiva” significa que cualquier elemento en el rango de la función es alcanzado por la función.
Primero demostremos que $g(x)$ es inyectiva. Si $g(x_1) = g(x_2)$, entonces obtenemos que $2f(x_1) + 3 = 2f(x_2) +3 implica f(x_1) = f(x_2)$. Como $f(x)$ es biyectiva, también es inyectiva y por lo tanto obtenemos que $x_1 = x_2$.
Ahora demostremos que $g(x)$ es sobreyectiva. Considere $y in mathbbR$ y observe el número $dfracy-32$. Como $f(x)$ es sobreyectiva, existe $hatx$ tal que $f(hatx) = dfracy-32$. Esto significa que $g(hatx) = 2f(hatx) +3 = y$. Por lo tanto, dado cualquier $y in mathbbR$, existe $hatx in mathbbR$ tal que $g(hatx) = y$. Por tanto, $g$ también es sobreyectiva.
Por lo tanto, $g(x)$ es biyectiva.
En general, si $g(x) = h(f(x))$ y si $f(x) : A to B$ y $h(x): B to C$ son ambas biyectivas entonces $g( x): A to C$ también es biyectiva.
En tu caso, $f(x)$ era biyectiva de $mathbbR to mathbbR$ y $h(x) = 2x+3$ también es biyectiva de $mathbbR to mathbbR$.
Si sostienes algún conflicto y capacidad de afinar nuestro sección puedes dejar una explicación y con mucho gusto lo ojearemos.