Nuestros mejores investigadores han agotado sus reservas de café, por su búsqueda diariamente por la resolución, hasta que Diana halló la contestación en Beanstalk así que hoy la compartimos contigo.
Solución:
Si te refieres a $$ left|xright|_p=left(sum_i=1^nleft|x_iright|^color#C00000pright) ^1/ptag1 $$ entonces la Desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular para la norma $p$.
Dualidad
Nótese que por la Desigualdad de Hölder, si $|y|_q=1$, donde $frac1p+frac1q=1$, tenemos $$ left|sum_i=1^nx_iy_iright|le |x|_ptag2 $$ Además, si $y_i=fracx_ix$, luego $|y|_q=1$ y $$ sum_i=1^nx_iy_i=|x|_ptag3 $$ $(2)$ y $( 3)$ muestra que $$ |x|_p=sup_y\left|sum_i=1^nx_iy_iright|tag4 $$ $( 4)$ dice que $ell^p$ es el dual de $ell^q$.
Prueba de dualidad de la desigualdad de Minkowski
$$ |x+y|_p =sup_substackv\sum_i=1^ nx_iu_i+y_iv_i lesup_substackv\sum_i=1^nx_iu_i+y_iv_i =|x|_p+ |y|_ptag5 $$ La desigualdad se debe a que el $sup$ de la izquierda se está tomando sobre un subconjunto de los pares $(u,v)$ sobre los que está el $sup$ de la derecha se está tomando
(Aprendí de Terry Tao la siguiente prueba, que explota un simetría para simplificar la tarea de probar una estimación mediante la normalización de uno o más factores inconvenientes para que sean iguales a $1$).
Asumo aquí que $1leq p Tenga en cuenta que esta prueba también funciona para los espacios $L^p$ abstractos generales. Si sostienes alguna indecisión o capacidad de aumentar nuestro crónica eres capaz de ejecutar una observación y con mucho gusto lo leeremos. valoraciones y reseñas