Solución:
Primero, mire algunas imágenes de hiperboloides para tener una idea de su forma y simetría.
Hay dos formas de pensar en su hiperboloide. En primer lugar, es una superficie de revolución. Puedes formarlo dibujando la hipérbola. $ x ^ 2 – z ^ 2 = 1 $ en el avión $ y = 0 $, y luego rotar esto alrededor del $ z $-eje.
Otra forma de obtener su hiperboloide es como una superficie “reglada”. Toma dos círculos de radio $ sqrt2 $. Un círculo $ C_1 $, se encuentra en el avión $ z = 1 $ y tiene centro en el punto $ (0,0,1) $. El otro, $ C_2 $, se encuentra en el avión $ z = -1 $ y tiene centro en el punto $ (0,0, -1) $. Como se puede ver, $ C_1 $ se encuentra verticalmente arriba $ C_2 $. Sus ecuaciones paramétricas son:
begin {align} C_1 ( theta) & = ( sqrt2 cos theta, sqrt2 sin theta, 1) \ C_2 ( theta) & = ( sqrt2 cos theta, sqrt2 sin theta, -1) end {align}
Para cada $ theta $, dibuja una línea desde $ C_1 ( theta) $ para $ C_2 ( theta + tfrac { pi} {2}) $. Esto le da la familia de líneas azules que se muestra en la siguiente imagen. Del mismo modo, puede obtener las líneas rojas uniéndose $ C_1 ( theta) $ y $ C_2 ( theta – tfrac { pi} {2}) $ para cada theta:
Para identificar las geodésicas, usaremos dos hechos que son bastante conocidos (se pueden encontrar en muchos libros de texto):
Hecho # 1: Cualquier línea recta que se encuentre en una superficie es una geodésica. Esto se debe a que su parametrización de longitud de arco tendrá una segunda derivada de cero.
Hecho # 2: Cualquier sección normal de una superficie es geodésica. Una sección normal es una curva producida al cortar la superficie con un plano que contiene la superficie normal en cada punto de la curva. El ejemplo más común de una sección normal es una sección formada por un plano de simetría. Entonces, cualquier intersección con un plano de simetría es siempre una geodésica.
Hay una infinidad de geodésicas que pasan por el punto $ (1,0,0) $. Pero, usando nuestros dos hechos, podemos identificar cuatro de ellos que son bastante simples. Son las curvas G1, G2, G3, G4 que se muestran en la siguiente imagen:
- G1: el círculo $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ acostado en el avión $ z = 0 $. Esta es una geodésica por Hecho # 2, ya que el avión $ z = 0 $ es un plano de simetría. En cada punto a lo largo de la curva G1, la normal principal de la curva debe ser paralela a la normal de la superficie en el punto, por simetría. Si este argumento geométrico no es convincente, podemos confirmarlo mediante cálculos. En cualquier punto $ P = (x, y, 0) $ en G1, la normal a la superficie y la normal principal de la curva están ambas en la dirección $ (x, y, 0) $. Esto se ilustra en la siguiente imagen:
-
G2: la hipérbola $ x ^ 2 – z ^ 2 = 1 $ acostado en el avión $ y = 0 $. Nuevamente, esta es una geodésica por Hecho # 2, ya que el avión $ y = 0 $ es un plano de simetría.
-
G3: la línea que pasa por los puntos $ (1, -1,1) $ y $ (1, 1, -1) $. Esta es una de las líneas azules mencionadas en la discusión anterior sobre superficies regladas. De hecho, sus dos puntos definitorios son $ (1, -1,1) = C_1 big (- tfrac { pi} {4} big) $ y $ (1,1, -1) = C_2 big ( tfrac { pi} {4} big) $. Tiene ecuación paramétrica
$$ G_3
Para comprobar eso $ G_3 $ yace en la superficie, observamos que
$$ x
Es una geodésica por Hecho # 1. -
G4: la línea que pasa por los puntos $ (1, -1, -1) $ y $ (1, 1, 1) $. El razonamiento es el mismo que para G3.
INSINUACIÓN:
Tenga en cuenta que nuestra superficie es una superficie de revolución, poniéndonos un contexto general, sea $ S $ una superficie de revolución con parametrización $ X left (u, v right) = left (f left (u right) cos left (v right), f left (u right) sin left (v right), g left (u right) right) $.
Sea $ gamma $ una curva en $ S $, esto es, $ gamma left (t right) = X left (u left (t right), v left (t right) right) PS Es fácil ver que la derivada covariante se puede expresar como: begin {eqnarray *} frac {D gamma ‘} {dt} & = & left (u’ ‘+ Gamma_ {11} ^ {1} left (u ‘ right) ^ {2} +2 Gamma_ {12} ^ {1} u’v’ + Gamma_ {22} ^ {1} left (v ‘ right) ^ {2} derecha) X_ {u} \ & & + left (v ” + Gamma_ {11} ^ {2} left (u ‘ right) ^ {2} +2 Gamma_ {12} ^ {2} u’v ‘+ Gamma_ {22} ^ {2} left (v’ right) ^ {2} right) X_ {v}. end {eqnarray *}
Donde $ Gamma ^ {k} _ {ij} $ para $ i, j, k = 1,2 $ son los símbolos de christoffel de $ S $.
Entonces, para que $ gamma $ sea una geodésica, debemos tener ese $ frac {D gamma ‘} {dt} = 0 $, luego tenemos el sistema: $ tag 1 begin {eqnarray *} u’ ‘+ Gamma_ {11} ^ {1} left (u’ right) ^ {2} +2 Gamma_ {12} ^ {1} u’v ‘+ Gamma_ {22} ^ {1} left (v ‘ right) ^ {2} & = & 0 \ v’ ‘+ Gamma_ {11} ^ {2} left (u’ right) ^ {2} +2 Gamma_ {12} ^ { 2} u’v ‘+ Gamma_ {22} ^ {2} left (v’ right) ^ {2} & = & 0. end {eqnarray *} $
Por otra parte, el Símbolos de Christoffel de $ S $ son:
begin {eqnarray *} Gamma_ {11} ^ {1} = 0, quad & Gamma_ {11} ^ {2} = – frac {ff ‘} { left (f’ right) ^ {2 } + left (g ‘ right) ^ {2}}, quad & Gamma_ {12} ^ {1} = frac {ff’} {f ^ {2}}, end {eqnarray *}
begin {eqnarray *} Gamma_ {12} ^ {2} = 0, quad & Gamma_ {22} ^ {1} = 0, quad & Gamma_ {22} ^ {2} = frac {f ‘f’ ‘+ g’g’ ‘} { left (f ^ {‘} right) ^ {2} + left (g ‘ right) ^ {2}}. end {eqnarray *}
Con los valores anteriores, el sistema (1) se convierte en
$$ tag 2 begin {array} {rrr} u ” + frac {2ff ‘} {f ^ {2}} u’v’ & = & 0 \ v ” – frac {ff ‘} { left (f ‘ right) ^ {2} + left (g’ right) ^ {2}} left (u ‘ right) ^ {2} + frac {f’f’ ‘+ g ‘g’ ‘} { left (f ^ {‘} right) ^ {2} + left (g ‘ right) ^ {2}} left (v’ right) ^ {2} & = & 0 \ end {matriz} $$
En el caso del hiperboloide de una hoja, tenemos $ f left (u right) = sqrt {1 + u ^ {2}} $ y $ g left (u right) = u $. Entonces, el sistema (2) volverse
$$ begin {array} {rrr} u ” + frac {2u u’v ‘} {u ^ {2} +1} & = & 0 \ v’ ‘- frac {u left (u ^ {2} +1 right)} {u ^ {2} + u + 1} left (u ‘ right) ^ {2} + frac {u} { left (u ^ {2} +1 right) left (u ^ 2 + u + 1 right)} left (v ‘ right) ^ {2} & = & 0 \ end {array} $$ Las geodésicas se encuentran resolviendo el sistema.
Insinuación Para dos geodésicas, considere los planos $ Pi $ de simetría del hiperboloide $ H $ a $ (1,0,0) $, y use la simetría y la singularidad de las geodésicas para argumentar que las curvas $ Pi cap H $ debe ser geodésico. Para los otros dos, se puede utilizar que el hiperboloide de una hoja esté doblemente regido.
Sugerencia adicional Para los dos primeros, considere una geodésica $ gamma $ a $ (1, 0, 0) $ tangente a $ Pi cap H $ en ese punto. Por simetría, el reflejo de $ gamma $ a $ Pi $, llámelo $ widetilde { gamma} $, es geodésico y tiene el mismo vector tangente en $ (1, 0, 0) $ que $ gamma PS Entonces, por la unicidad de las geodésicas, $ widetilde { gamma} = gamma $, y en particular $ gamma $ se fija por reflexión y por lo tanto está contenido dentro de $ Pi cap H $. Para los dos segundos, dado que $ H $ está doblemente gobernado, hay dos líneas rectas a través de $ (1, 0, 0) $ contenidas en $ H $. En particular, las parametrizaciones de velocidad constante de estas líneas tienen aceleración cero y, por lo tanto, tienen aceleración normal cero (consideradas como curvas en $ H $), por lo que son geodésicas.