Te traemos la respuesta a este rompecabezas, o por lo menos eso esperamos. Si presentas dudas deja tu comentario y con gusto te responderemos
Solución:
A continuación, se muestran algunos consejos generales para adquirir intuición en topología:
-
Aprenda muchos ejemplos temprano y utilícelos para guiar su comprensión. Tomemos la definición de topología, por ejemplo. La motivación original para esta definición proviene de espacios topológicos familiares, como los números reales o, más generalmente, $ mathbb R ^ n $ o, más generalmente aún, espacios métricos. Aprenda la definición de mapas continuos $ mathbb R ^ m to mathbb R ^ n $ y entre espacios métricos en general y luego intente comprender por qué la definición de ‘conjunto abierto’ de un mapa continuo es equivalente a estas definiciones. Llegados a este punto, es natural preguntarse hasta qué punto podemos generalizar esta definición. La topología se trata realmente de reemplazar ‘$ epsilon $ -balls’ en espacios métricos con ‘vecindarios abiertos básicos’ más generales que tienen precisamente las propiedades correctas que nos permiten dar sentido a conceptos como ‘mapa continuo’ o ‘vecindario pequeño’ que nosotros ‘ están acostumbrados a los análisis reales.
-
Aprenda a dibujar imágenes de espacios topológicos. Un topólogo experimentado dibujará naturalmente el diagrama
para un conjunto abierto $ U $ contenido en un espacio topológico $ X $ o
para el espacio de producto $ X times Y $, incluso si los espacios en realidad no se ven así en absoluto. Dibujar un diagrama te ayudará a tener intuición para escribir pruebas reales.
-
Reconozca que a veces simplemente tendrá que hacer mucha topología. La definición de un compacto El espacio topológico es notoriamente difícil de interiorizar para los recién llegados al tema. Mirando hacia atrás en mi propio desarrollo matemático, no creo que haya nada que alguien pudiera haberme dicho en ese momento que me hubiera ayudado a entenderlo mejor. Después de algunos años de usar esta definición y trabajar con espacios compactos, principalmente el intervalo cerrado $[0,1]$, Tengo una mejor comprensión de su importancia. De hecho, mi consejo para cualquiera que quiera entender la compacidad es aprender una demostración del teorema de Heine-Borel (es decir, $[0,1]$ es compacto) y luego regrese y escriba nuevas demostraciones de los siguientes teoremas a partir del análisis real usando solo el hecho de que $[0,1]$ es un espacio topológico compacto:
- el teorema de Bolzano-Weierstrass
- cada función continua $[0,1] to mathbb R $ está acotado
- el lema del número de Lebesgue
- el teorema del grafo cerrado: una función $ f colon[0,1] to mathbb R $ es continuo si y solo si su gráfica $$ Gamma_f = (x, f (x)) colon x in mathbb R subset[0,1] times mathbb R $$ es un conjunto cerrado.
-
Sigue haciéndote preguntas (a ti mismo). Estás haciendo exactamente lo correcto al cuestionar las definiciones que estás viendo. Si acepta ciegamente cada definición que le enseñaron sin cuestionar si es natural o “correcta”, encontrará que llega al final de un curso de topología sin comprender realmente nada de lo que le han enseñado. Cada vez que vea una definición, pregúntese ‘¿Por qué se ha definido de esta manera?’ Al mismo tiempo…
-
Entiende que no hay prisa. Si no comprende de inmediato por qué se utiliza una definición, no se preocupe e intente seguir adelante. La topología se ha revisado y perfeccionado muchas veces en los cien años que ha existido y puede estar seguro de que las definiciones que está viendo están natural y muy útil. También puede estar seguro de que, a lo largo de sus estudios en matemáticas, se encontrará con la topología una y otra vez, y esto le dará la oportunidad de seguir haciéndose las preguntas que se ha estado haciendo. Cada vez obtendrás más y más respuestas.
-
(opcional) Aprenda definiciones equivalentes. La razón por la que esto es opcional es que muchas personas han sobrevivido perfectamente bien con las definiciones habituales de la topología, y ciertamente no debería perder su tiempo aprendiendo muchas otras definiciones si tiene problemas con las existentes. Sin embargo, puede resultar útil aprender algunas formas alternativas de ver las cosas. Por ejemplo, aquí hay algunas alternativas a la definición de ‘conjunto abierto’ de una topología:
-
Sistema de barrios abiertos básicos – Esto es bastante similar a la ‘definición de conjunto abierto’, pero en lugar de requerir que nuestra colección de conjuntos esté cerrada bajo uniones y todas las intersecciones finitas, solo requerimos que la intersección de dos vecindarios abiertos básicos se pueda escribir como la unión de los conjuntos básicos barrios abiertos. Esta definición es técnicamente menos precisa que la definición habitual, ya que diferentes sistemas de enlaces pueden dar lugar a la misma topología, pero a veces es más natural. Por ejemplo, la topología en un espacio métrico es inducida por el sistema de vecindarios abiertos básicos dado por $ epsilon $ -balls $ B (x, epsilon) $.
-
Operador de cierre Es interesante que la topología en un espacio $ X $ se pueda deducir del operador de cierre $ text Cl colon mathcal P (X) to mathcal P (X) $. Esto da lugar a una definición equivalente de espacio topológico; ver Wikipedia.
Para compacidad:
-
Compacidad secuencial. Esto solo funciona para espacios métricos, pero sigue siendo divertido. Un espacio métrico es compacto si y solo si es secuencialmente compacto – cada secuencia tiene una subsecuencia convergente
-
Compacidad categórica. Un espacio topológico $ X $ es compacto si y solo si para cada espacio topológico $ Y $ el mapa de proyección $ pi_Y colon X times Y a Y $ es un mapa cerrado. Vea esta nota.
-
Tu pregunta requiere un libro de texto. Hasta que encuentre una, puede intentar conectar esta definición con lo que pueda saber acerca de las funciones continuas de una variable real. Suponga que $ tau $ es el conjunto de todas las uniones de intervalos abiertos $ (a, b) $. Intente escribir la definición de continuidad “$ epsilon- delta $” usando elementos de $ tau $ en lugar de intervalos.
Sugeriría estudiar primero un buen libro de texto avanzado sobre cálculo multivariable, con un enfoque en la función de distancia en el espacio euclidiano, el concepto de subconjuntos abiertos del espacio euclidiano y la multitud de pruebas $ epsilon- delta $ en cálculo multivariable.
A continuación, sugeriría encontrar un buen libro de texto sobre espacios métricos, centrándose nuevamente en el concepto de subconjuntos abiertos en relación con las pruebas $ epsilon- delta $. Me gusta bastante este libro.
Con esos antecedentes, debería haber desarrollado una buena intuición para los conjuntos abiertos, preparándolo para las definiciones abstractas de Topología.