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Solución:
La “sugerencia” propuesta en realidad debería llamarse un requisito: usted tener para usarlo como una condición de normalización. Esto se debe a que las funciones de onda no son normalizables: lo que tiene que ser igual a 1 es la integral de $|psi|^2$no de $psi$y $|psi|^2$ es una constante Al igual que una onda plana regular, la integral sin $N$ es infinito, por lo que ningún valor de $N$ lo hará igual a uno.
Una opción aquí sería simplemente darse por vencido y no calcular $N$ (o decir que es igual a 1 y olvidarse de eso). ¡Esto no está mal! Las funciones $psi_E$ no son físicos, ninguna partícula real puede tenerlos como estado. Estados físicos $psi(p)$ son superposiciones de nuestras funciones de onda base, construidas como
$$psi(p) = int dE, f(E) psi_E(p)$$
con $f(E)$ alguna función. Esta nueva función de onda es físico, y debe ser normalizado, y $f(E)$ maneja ese trabajo; debe elegirlo para que el resultado se normalice.
Pero hay dos razones por las que decidimos imponer $langosta E | E’ rangle = delta(E-E’)$. Una es que es útil tener alguno convención para nuestra base, por lo que los últimos cálculos son más fáciles. Tener una función delta es inevitable, ya que independientemente de la normalización el producto interno será cero para energías diferentes e infinito para energías iguales, pero podríamos poner algunos (posiblemente $E$-dependiente) coeficiente delante de él – eso depende de la convención.
La otra razón es que si profundiza un poco más en la normalización de la $psi(p)$ arriba, la función delta aparece de todos modos. Tenemos
$$langlepsi | psi rangle = int dp, int dE, int dE’, f(E)^* f(E’) psi_E^*(p) psi_E'(p),$ ps
y puedes ver que el producto interno $langosta E | E’ rangle$ está justo ahí, en el $E$ integral. Así que nosotros tener usar el hecho de que es proporcional a $delta(E-E’)$y es mejor fijar la constante de proporcionalidad de antemano.
En resumen: tener $langosta E | E’ rangle propto delta(E-E’)$ simplemente cae fuera de la definición de la $psi_E(p)$, y también es obviamente la manifestación del hecho de que los estados estacionarios con diferentes energías son ortogonales. Somos libres de elegir lo que va delante de la función delta, lo que equivale a dar un valor (posiblemente dependiente de la energía) para $N$. Usando $delta(E-E’)$ por sí solo es la opción más simple, pero a veces se utilizan otros factores.
Ahora, en realidad calculando $N$ dada esta convención es bastante fácil: no le daré la respuesta, pero tenga en cuenta que cuando calcula el producto interno de dos funciones de onda con diferentes energías (es decir, la integral de $psi_E^* psi_E’$), las partes con $p^3$ en la cancelación exponencial, porque no dependen de la energía. Lo que queda es una exponencial compleja regular, y usando la identidad
$$int_-infty^infty dx, e^ikx = 2pi delta(k)$$
(que es lo suficientemente riguroso para nuestros propósitos), usted muestra que todo debe ser proporcional a $delta(E’-E)$y derivar el valor de $N$ desde allí.
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