La guía o código que encontrarás en este post es la solución más eficiente y válida que hallamos a tu duda o problema.
Solución:
Tu multiplicación está bien; el problema es un error tipográfico en las notas. Deberían decir $$left[beginmatrix
A_mtimes m&B_mtimes n\
C_ntimes n&D_ntimes n
endmatrixright]= izquierda[beginmatrix
A_mtimes m&0_mtimes n\
C_ntimes m&I_ntimes n
endmatrixright]
izquierda[beginmatrix
I_mtimes m&A^-1B_mtimes n\
0_ntimes m&D-CA^-1B_ntimes n
endmatrixright]$$ con un $0_ntimes m$ en la esquina inferior izquierda del segundo factor, al igual que el segundo factor en la siguiente línea de las notas tiene $0_mtimes n$ en el esquina superior derecha.
Tal vez alguien más sepa de dónde viene la descomposición; Sería difícil encontrarlo y simplemente puedo observar después del hecho de que funciona.
Esto es un error tipográfico en la prueba. El segundo factor debe ser
$$beginbmatrix I_m times m & A^-1B_m times n\ 0_n times m & D-CA^-1B_n veces n endbmatriz$$
con un cero en lugar de un $C$, en analogía con el otro producto. Tenga en cuenta que el determinante reclamado tampoco saldría bien con el $C$ incluido.
La descomposición está relacionada con el complemento de Schur; ver también ¿Una forma geométrica de razonar sobre los complementos de Schur?