Tobías, parte de nuestro equipo de trabajo, nos ha hecho el favor de redactar esta sección ya que controla perfectamente este tema.
Solución:
Primero debemos ser precisos acerca de qué espacio de funciones estamos hablando. Una opción en la que su pregunta tiene sentido es $ L ^ 2 ([-pi,pi]) $, que significa las funciones $ f:[-pi,pi] to mathbb C $ satisfaciendo $$ int _ – pi ^ pi | f (x) | ^ 2dx < infty. $$ (También hay problemas de mensurabilidad al especificar estas funciones, pero ignoremos esa complicación; ver Análisis real de Stein.) Ahora podemos abordar su pregunta sobre cómo tomar el producto escalar de dos funciones. En este contexto, lo llamamos un producto interno y está escrito $$ (f, g) _ L ^ 2 = int _ - pi ^ pi f (x) overline g (x) dx. $$ (Observe el paralelo entre esto y el producto escalar euclidiano de dimensión finita).
Desde aquí puedes probar que las funciones $ e ^ inx _ n in mathbb Z $ (estos son los senos y cosenos que preguntaste) son una base ortonormal (ver págs. 200-201 en Stein) (tenga en cuenta que necesita una topología para hablar de una base en este contexto, que está determinada por la métrica que proviene del producto interno anterior).
Ahora, como sabe por el caso de dimensión finita, puede escribir una función en una base tomando el producto escalar: para $ n in mathbb Z $, $$ hat f (n) = (f, e ^ inx) _ L ^ 2 = int _ – pi ^ pi e ^ – inx f (x) dx. $$ Entonces $ hat f (n) $ es solo el $ n $ el coeficiente de Fourier, o la transformada de Fourier evaluada en $ n $! Esto sugiere que la transformada de Fourier es un isomorfismo entre $ L ^ 2 ([-pi,pi]) $ y $ ell ^ 2 ( mathbb Z) $, donde este último se define como el espacio de secuencias sumables al cuadrado (probablemente pueda adivinar cómo se define su producto interno).
PD. Si está buscando términos de búsqueda, “espacio de Hilbert” se refiere a espacios vectoriales (a menudo de funciones) que tienen un “producto escalar” que se comporta como el euclidiano lo suficiente como para que pueda usarlo para hacer cálculo.
Bis ps. Me di cuenta demasiado tarde de que estás preguntando por el discreto Transformada de Fourier, pero espero que esto sea útil.
para una base que era una función en lugar de una constante
Mira, no hay realmente una dicotomía entre funciones y constantes. Una función es simplemente una constante de un tipo diferente a un número o una tupla. Lo que no es constante es valores de función, es decir, los resultados de evaluar una función para algún argumento. Desafortunadamente, la notación que muchas personas usan oscurece completamente esta distinción. Para dejarlo claro: deje $ f: mathbb R to mathbb R $ una función. Luego
- $ f (x) $ es no es una función. Es solo un expresión eso depende de la variable libre $ x $. Por lo tanto, no es constante y, de hecho, no tiene sentido considerarlo como un elemento de un espacio vectorial.
Mucha gente le dirá que $ f (x) $ es una función. Están equivocados. - La función es solo $ f $, cuando no aplicado a cualquier argumento. Si tiene una definición adecuada como $$ forall x. F (x) = frac1 1 + x ^ 2 $$ (tenga en cuenta que el cuanto universal $ forall $, que generalmente no se escribe, pero se asume implícitamente – hace que $ x $ sea un ligado variable) entonces $ f $ como un todo es una constante de función perfectamente buena, al igual que $ 5 $ o $ sqrt 2 $ o $ b $ son constantes numéricas perfectamente buenas (si previamente lo definió como $ b = 17 PS
De hecho, podría considerar los vectores $ v in mathbb R ^ 3 $ además como funciones: $$ v: 0,1,2 to mathbb R $$ o, menos precisamente, $$ v: mathbb N to mathbb R. $$ Esto significa que $ v (i) $ (o, como se escribe más comúnmente, $ v_i $) es un número, mientras que $ v $ como un todo es un vector.
Ahora bien, con tales vectores de dimensión finita, un producto escalar generalmente será una simple suma. $$ langle v, w rangle _ _ mathbb R ^ 3 = sum_ i = 0 ^ 2 v_i cdot w_i $$ Esta definición es igualmente posible si los vectores no son funciones de un número natural pero real; por ejemplo, puede definir $$ langle f, g rangle _ _ text Bogus = sum_ x in 1,3, pi ^ 2 f (x) cdot g (x) $$ Solo, eso no es un producto escalar: no es positivo definido, por ejemplo, si $ f (x) $ tiene valores cero solo para $ x $ negativos, entonces $ langle f, f rangle _ _ text Bogus = 0 $ aunque $ f neq 0 $.
Los productos escalares realmente útiles evitan esto† evaluando las funciones En todas partes en su dominio. Esto no es realmente factible con sumas, pero puedes hacerlo con integrales, como en el clásico espacio $ L ^ 2 $ de Hilbert: $$ langle f, g rangle _ _ L ^ 2 ( mathbb R) = int _ mathbb R ! mathrm d x f (x) cdot g (x). $$
†Puede objetar que esto es todavía no definido positivo: si conecta una función que es cero en casi todas partes, pero por ejemplo, $ f (0) = 1 $, entonces la norma $ L ^ 2 $ produce $ 0 $ aunque $ f neq0 $. Los elementos del espacio $ L ^ 2 $ Hilbert no son de hecho funciones generales cuadradas integrables, sino conjuntos de equivalencia de tales funciones modulo diferencias en null conjuntos por lo tanto, podemos decir $ f = 0 $ si solo es cero en casi todas partes. (Alternativamente, puede simplemente decir: la norma $ L ^ 2 $ es una norma para todos funciones continuas.)
Consideremos la DST (Transformada sinusoidal discreta) que está muy cerca de la DFT (Transformada discreta de Fourier) y es un poco más simple de entender:
El DST de orden $ N $ se define mediante una matriz que actúa sobre vectores que representan funciones discretizadas de esta manera:
$$ begin pmatrix sin (1a) & sin (2a) & cdots & sin (qa) & cdots & sin (na) \ sin (2a) & sin (4a) & cdots & sin (2qa) & cdots & sin (2na) \ cdots & cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \ sin (pa) & sin (2pa) & cdots & sin (pqa) & cdots & sin (pna) \ cdots & cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \ sin (na) & sin (2na) & cdots & sin (nqa) & cdots & sin (n ^ 2a ) end pmatrix begin pmatrix f (h) \ f (2h) \ f (ph) \ cdots \ cdots \ f (nh) end pmatrix = begin pmatrix g (h) \ g (2h) \ g (ph) \ cdots \ cdots \ g (nh) end pmatrix $$
con $ a = dfrac 2 pi n + 1 $, y $ h $ es el paso de discretización.
Esta matriz transforma la función discretizada $ f $ en la función discretizada $ g $.
El producto genérico línea por columna (línea numerada $ p $ por el vector de columna de $ f $) es:
$$ sin (pa) f (h) + sin (2pa) f (2h) + cdots + sin (pqa) f (qh) + cdots + sin (pna) f (nh) = g (ph) $$
que se puede poner en el formulario:
$$ g (ph) = sum_ q = 1 ^ n sin (pqa) f (qh) $$
Ahora es suficiente “por analogía” reemplazar los signos $ sum $ por los signos $ int $, y los valores discretos por los continuos:
$$ g (s) = int_ t = 0 ^ 1 sin (2 pi st) f (t) dt $$
Observación: los “detalles” relacionados con la sustitución de un rango finito de valores por uno continuo pueden parecer bastante arbitrarios. De hecho, podrían tomarse otras opciones “por analogía”, en particular para abordar infinito rangos de variables continuas. Esto sería necesario para la recuperación de la llamada transformada sinusoidal “continua” clásica. Pero nuestro propósito aquí es solo pedagógico.
Estos métodos de transformación, ilustrados aquí por la construcción de una transformación continua a partir de una discreta finita, constituyen una “herramienta heurística” muy poderosa: un método que le ayuda en el descubrimiento (y comprensión) de propiedades, relaciones, etc.
Pero, repitámoslo, trabajamos por analogía y nada más.
Observación 1: Se puede demostrar que las columnas de la matriz de la transformada seno discreta son ortogonales y tienen una norma común. Dividiendo por esta norma, se tiene una base ortonormal privilegiada, un punto que es importante en el cambio “analógico” al espacio de Hilbert $ L ^ 2 $ (mencionado por @Stan Palasek), donde tantas cosas dependen de las descomposiciones en una ortogonal ( o espacio de Hilbert).
Observación 2: Podría haber tomado un camino diferente y considerar que extendemos nuestra matriz hasta el infinito ($ p, q = 1, cdots infty $) con un aparato matemático conveniente. Esto habría dado un “mundo” diferente; pero es mejor no mezclar cosas que no sean de la misma naturaleza.
Observación 3: Puede echar un vistazo a una pregunta que hice algunas veces sobre la relación entre “mundos” discretos y continuos y puentes que se pueden poner entre ellos: (Buscando ejemplos de enfoques complementarios discretos / continuos).
Finalizando este artículo puedes encontrar las aclaraciones de otros usuarios, tú igualmente puedes mostrar el tuyo si te gusta.