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Solución:
El poder de la integración del contorno en el plano complejo reside en el concepto de función analítica: resulta que una integral sobre un contorno cerrado en el plano complejo de una función que es analítica en el interior de ese contorno es cero. Acabo de recitar una interpretación del teorema de Cauchy, que es el teorema fundamental de la integración compleja si existe.
El teorema de Cauchy se encuentra en el corazón de gran parte del análisis complejo. Pero limitemos nuestra discusión a evaluar integrales definidas de funciones de valor real de variables reales. ¿Por qué es útil el teorema de Cauchy? Porque el teorema dice muy poco sobre la forma exacta del contorno, solo que la función no tiene singularidades (polos, puntos de ramificación) en el contorno. Esto nos permite una extraordinaria libertad para expresar una integral de valor real como una pieza de un contorno cerrado.
Además, si la función que estamos integrando no es analítica dentro del contorno en puntos discretos, nuevamente, debido a un polo o un punto de ramificación, entonces podemos deformar el contorno para excluir esos puntos. En el caso de un poste, las exclusiones adquieren una geometría mágica propia. El resultado es el teorema del residuo, en el que podemos pretender que está bien que una función tenga polos aislados dentro del contorno, y que la integral del contorno está relacionada con la suma de los residuos de los polos dentro del contorno. En el caso de los puntos de ramificación, las cosas no son tan simples, pero por lo general terminamos usando el teorema de Cauchy para expresar nuestra desagradable integral de valor real en términos de una integral de valor real diferente pero más simple sobre el punto de ramificación.
Los ejemplos más fáciles dados en los cursos estándar de análisis complejo involucran semicírculos en los que el diámetro de un semicírculo está en el eje real. Por lo general, hay un polo dentro del semicírculo y la integral sobre la parte circular suele ser cero cuando el radio es lo suficientemente grande. Por tanto, la integral sobre la recta real es igual a un residuo de un polo, lo cual es muy fácil de calcular.
Sin embargo, no nos limitamos a ejemplos tan sencillos. Como dije, el dominio de esta técnica conduce a un vertiginoso array de contornos e incluso funciones analíticas que devuelven el valor de la integral deseada con muy poco trabajo adicional. Por favor, eche un vistazo a lo largo de este sitio, especialmente en la etiqueta de integración de contorno, para ver las posibilidades de lo que es capaz el teorema de Cauchy.
$ DeclareMathOperator Re Re DeclareMathOperator Res Res $ En la situación prototípica, suponga que $ f $ es una función meromórfica en el plano complejo, es decir, una función con singularidades aisladas que es holomórfica en el complementar $ U $ de su conjunto de puntos singulares.
Gracias al teorema de Cauchy (también conocido como teorema de Green aplicado a las partes real e imaginaria), la meromorphic $ 1 $ -form $ f (z) , dz $ satisface una propiedad de invariancia notable: si $ gamma_ 1 $ y $ gamma_ 2 $ son curvas cerradas suaves por partes en $ U $ (o más generalmente, $ 1 $ -cadenas , es decir, sumas formales de tales curvas con coeficientes enteros) que tienen el mismo número sinuoso alrededor de cada singularidad de $ f $, entonces $$ int _ gamma_ 1 f (z) , dz = int _ gamma_ 2 f (z) , dz. $$ Particularmente, si $ gamma $ encierra algún conjunto finito de singularidades de $ f (z) , dz $, la integral de $ f (z) , dz $ alrededor de $ gamma $ es la suma de los residuos correspondientes de $ f $ multiplicado por el número de bobinado de $ gamma $ sobre la singularidad. En símbolos, si $ gamma $ encierra singularidades $ (z_ j) _ j = 1 ^ k $ con números sinuosos $ (n_ j) _ j = 1 ^ k $, luego $$ int _ gamma f (z) , dz = 2 pi i sum_ j = 1 ^ k n_ j Res (f, z_ k). etiqueta 1 $$
El residuo de una función meromórfica en una singularidad aislada $ z_ 0 $ es el coeficiente de $ (z – z_ 0) ^ – 1 $ en la expansión de Laurent de $ f $ aproximadamente $ z_ 0 $ . (Esta es la potencia entera única de $ (z – z_ 0) $ cuya integral sobre un pequeño bucle centrado en $ z_ 0 $ no es cero, precisamente porque esta potencia no admite primitiva meromórfica en un vecindario perforado de $ z_ 0 $.)
Con todo esto entendido, la integración de contorno funciona cuando alguna integral real se puede convertir en una trayectoria cerrada uniforme por partes $ gamma $ en el plano complejo (o en la esfera de Riemann, o en alguna otra superficie de Riemann, como cuando se trabaja con elíptica funciones o funciones que tienen cortes de rama) de tal manera que
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Se puede evaluar el residuo total de $ f (z) , dz $ aproximadamente $ gamma $;
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La integral original es una expresión algebraica manejable en el residuo total.
En resumen, la integración compleja le permite “localizar” una integral de contorno (global) a ciertos coeficientes de series de potencia en las singularidades de $ f (z) , dz $.
Para ilustrar, considere la integral $$ int_ 0 ^ infty frac sin x x , dx = frac 1 2 int _ – infty ^ infty frac sin x x , dx $$ Un enfoque es escribir $ cos x – i sin x = exp (-ix) $, lo que lleva a uno a considerar la función meromórfica $ f (z) = exp (-iz) / z $. Esta función:
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Tiene un polo en $ 0 $, con $ Res (f, 0) = 1 $, y una singularidad esencial en $ infty $;
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Decae exponencialmente rápidamente como $ Im z to + infty $.
Uno es llevado a considerar, para $ 0 < delta Por el teorema del residuo (1), la integral sobre cada uno de esos contornos desaparece. Tome los límites como $ delta a 0 ^ + $ y $ R a + infty $. Las integrales sobre los segmentos se acercan a la integral deseada $$ int_ 0 ^ infty frac sin x x , dx; $$ la integral sobre el semicírculo grande converge a $ 0 $ porque el integrando decae exponencialmente en el semiplano superior; la integral sobre el semicírculo pequeño converge en $ – frac 1 2 Res (f, 0) = – frac 1 2 $. Juntando las piezas, el teorema del residuo da $$ – pi i = int _ – infty ^ infty frac e ^ – ix x , dx = int _ – infty ^ infty frac cos x – i sin x x , dx. $$ (Técnicamente, la integral impropia diverge; la ecuación anterior realmente implica su valor principal.) Al equiparar las partes real e imaginaria se obtiene la evaluación esperada $$ pi = frac 1 2 int _ – infty ^ infty frac sin x x , dx . $$ Como se mencionó en los comentarios, la razón por la que podemos cambiar / deformar los contornos se debe a una versión generalizada del teorema de Stoke. Que tiene una explicación extremadamente intuitiva aquí en Wikipedia, consulte los principios subyacentes. Aquí hay otro aquí. La razón ondulada de la mano por la que funciona es porque el rizo de una función compleja es $ 0 $. Los círculos son realmente fáciles de parametrizar. Es por eso que (generalmente) integramos círculos en lugar de … digamos triángulos. Esto se debe a la identidad de Euler. Además, estamos acostumbrados a escribir series de potencias para variables. Sin embargo, en algunos casos, a veces necesitamos, y como verá, muchas veces deseamos poderes negativos. Esto motiva la discusión de Laurent Series. Entonces, cuando integramos alrededor de una curva, $ C ( theta) $, multiplicamos por un diferencial $ dC ( theta) $ tal que $$ (1) quad dC ( theta) = C ( theta + d theta) -C ( theta) $$ Multiplicando y dividiendo el lado derecho de $ (1) $ por $ d theta $ yeilds, $$ (2) quad dC ( theta) = cfrac dC d theta cdot dt $$ Entonces, $$ (3) quad int_C f (C ( theta)) dC ( theta) = int f (C ( theta)) cdot cfrac dC d theta d theta $$ El significado de $ (3) $ es el siguiente. La integral de línea de una función $ f (x) $ sobre una curva $ C ( theta) $ da el valor promedio de $ f cdot cfrac dC $ en esa curva multiplicado por la longitud de La curva. Si acepta esta afirmación, simplemente podemos sustituir las funciones en cuestión. Sin embargo, ese no es realmente el problema, ¿verdad? Primero, abordemos un problema importante; ¿Por qué $ (3) $ promedia más de $ f cdot cfrac dC $? Se necesitará algo de imaginación, pero se puede dar una explicación razonable. Imagine que $ f (t) $ da la velocidad de una persona que camina en un momento determinado. Si es positivo, está caminando hacia la derecha. Si es negativo, está caminando hacia la izquierda. Ahora imagina que estábamos viendo esto en un televisor en lugar de en la vida real. Si aceleramos el tiempo, adelantamos rápidamente, la persona parecería estar caminando más rápido. Si rebobinamos, la persona cambiaría de dirección. Sin embargo, si tenemos un $ p $ en tiempo real, entonces podemos saber el tiempo en el televisor haciendo que $ t $ sea una función del $ p $ en tiempo real. Ahora bien, si $ dt $ es negativo, sabemos que la hora en la televisión está retrocediendo. Sin embargo, si la velocidad de la persona sigue siendo positiva, sabemos que la true la velocidad, relativa al observador en el momento $ p $, es en realidad negativa. Entonces, si queremos la velocidad promedio de la persona, no es suficiente mirar la televisión, también es necesario saber cómo avanza el tiempo. Es por eso que $ (3) $ puede ser negativo. Sin embargo, si el tiempo avanza normalmente en relación con el observador, la relación se convierte en la unidad. Entonces, en corto $ (3) $ promedios, pero lo hace con respecto a la dirección. Lamentablemente, explicar el tiempo imaginario tomaría mucho tiempo real, por lo que tendremos que conformarnos con la oración anterior en lugar de la analogía del tiempo. Sin embargo, recuerde que la multiplicación por un número complejo $ v $ rota el multiplicando $ w $ por $ arg (v) $ grados / radianes y escala por $ | v | $ en el plano complejo. Para obtener una explicación más detallada y una revisión, consulte aquí. Entonces, $ cfrac dC ( theta) $ da el diferencial normalizado, la dirección del diferencial, en un ángulo $ theta $. Imagine líneas que van desde el origen hasta un punto en $ C $. Luego imagina otra línea que va desde ese punto y luego tangente en sentido antihorario a lo largo de la curva. Mueva esta nueva línea y coloque su cola en el origen. Entonces, debería ver una línea que representa $ C (t) $, luego también debería ver otra línea que representa la dirección de $ dC $. Observe que para el círculo complejo, $ 90 ^ o $ separa estas líneas. Dado que la multiplicación puede rotar, la dirección de $ dC $ es $ C $ rotado por $ 90 ^ o $. Mejor todavía, $ (4) quad dC = i cdot C $ $ Flecha derechaarg (dC) = arg (C) + pi / 2 $ Donde hemos cambiado a radianes. Es importante darse cuenta de que es la diferencia entre las direcciones o los ángulos, eso es key. En símbolos, $ (5) quad Delta theta = arg (dC) -arg (C) = pi / 2 $ Que es constante. Lo sabemos, $ (6) quad arg (v cdot w) = arg (w) + arg (v) $ Por extensión, $ (7) quad arg left ( cfrac w v derecha) = arg (w) -arg (v) $ Utilizando el principio de los resultados de correspondencia, $ (8) quad arg left ( cfrac dC C right) = arg (dC) -arg (C) $ Por lo tanto, si queremos que $ (3) $ sea constante, en otras palabras, si queremos que la diferencia de ángulos sea constante, deberíamos tener $ f = cfrac 1 C ( theta) $. ¿Qué pasa con $ f = cfrac 1 C ( theta) ^ 2 $? Gira más rápido que $ dC $, por lo que la diferencia entre ángulos no será constante. ¿Qué pasa con $ f = cfrac 1 C ( theta) ^ 0 $? Esta vez gira muy lentamente para que la diferencia sea constante. Finalmente, poniendo todo junto, $$ (9) quad cfrac 1 2 cdot pi cdot int_ C_r cfrac dC C-z_0 = i $$ Esto dice que el ángulo promedio entre $ dC $ y $ cfrac 1 C-z_0 $ en el plano complejo es $ pi / 2 $ radianes o $ 90 ^ o $ grados. Que en este caso se representa mejor como $ i $. Si guardas alguna indecisión o forma de enriquecer nuestro reseña eres capaz de realizar un exégesis y con gusto lo interpretaremos.