Solución:
Hay un buen truco llamado teorema de raíces racionales. Todo lo que tenemos que hacer es factorizar el primer y el último número, ponerlos sobre una fracción y tomar $ pm $. Esto nos da las siguientes posibles raíces racionales:
$$ x stackrel? = pm1, pm2, pm4 $$
debido a la factorización de $ 4 $. Verificando estos, está claro que $ x = 2 $ es la única raíz racional, ya que
$$ begin {align} 0 & ne (+1) ^ 3-6 (+1) +4 \ 0 & ne (-1) ^ 3-6 (-1) +4 \ color {# 4488dd } 0 & = color {# 4488dd} {(+ 2) ^ 3-6 (+2) +4} \ 0 & ne (-2) ^ 3-6 (-2) +4 \ 0 & ne ( +4) ^ 3-6 (+4) +4 \ 0 & ne (-4) ^ 3-6 (-4) +4 end {align} $$
dejándonos con
$$ x ^ 3-6x + 4 = (x-2) ( puntos) $$
Podemos encontrar el resto mediante división sintética:
$$ begin {array} {c | cc} 2 & 1 & 0 & -6 & 4 \ & downarrow & 2 & 4 & -4 \ & hline1 & 2 & -2 & 0 end {array} $$
lo que nos da nuestra factorización:
$$ x ^ 3-6x + 4 = (x-2) (x ^ 2 + 2x-2) $$
Como no conoce la prueba de raíz racional, consideremos un caso más simple: la prueba de raíz entera.
Si $ , f (x) = x ^ 3 + 6x + 4 , $ tiene una raíz entera $ , x = n , $ entonces $ , n ^ 3 + 6n + 4 = 0 , $ entonces $ , (n ^ 2 + 6) , color {# c00} {n = -4}, , $ por lo tanto $ , color {# c00} {n { rm divide} 4} . , $ Probar todos los divisores de $ 4 $ muestra que $ 2 $ es raíz, $ $ por lo tanto $ , x-2 , $ es un factor de $ f $ según el Teorema del factor. El cofactor $ , f / (x-2) , $ es calculable mediante el algoritmo de división polinomial (larga) (o incluso mediante coeficientes indeterminados).
Observación $ $ Este es un caso muy especial de relaciones generales entre la factorización de polinomios y la factorización de sus valores. Por ejemplo, se pueden derivar relaciones entre primalidad y composición de polinomios basándose en las mismas propiedades de sus valores. Por ejemplo, dado que $ 9 ^ 4 ! + 8 $ es primo, también lo es $ , x ^ 4 + 8 , $ según la prueba de irreductibilidad de Cohn. Vea esta respuesta y sus enlaces para ver algunas de estas hermosas ideas de Bernoulli, Kronecker y Schubert.