Después de de esta prolongada compilación de información dimos con la solución esta inconveniente que presentan muchos de nuestros usuarios. Te compartimos la respuesta y deseamos servirte de mucha ayuda.
Solución:
Ah, sí, uno de mis temas favoritos. Básicamente, no existe una forma universalmente acordada de hacer esto. El problema es que, en general, no hay una manera única de interpolar los valores de la tetración en la “altura” entera (que es como se puede llamar al “número de exponentes en la ‘torre'”). Entonces, en teoría, podrías definirlo como cualquier cosa.
En el caso de la exponenciación, uno tiene la identidad útil $ a ^ n + m = a ^ na ^ m $, que permite una extensión “natural” a valores no enteros del exponente. Es decir, puede ver, por ejemplo, que $ a ^ 1 = a ^ 1/2 + 1/2 = (a ^ 1/2) ^ 2 $, de lo cual podemos decir que necesitamos definir $ a ^ 1/2 = sqrt a $ si queremos que esa identidad se mantenga en la exponenciación extendida. No existen tales identidades para la tetración.
Es posible que también desee ver la respuesta de Qiaochu Yuan aquí, donde explora algo de esto desde un punto de vista de matemáticas superiores:
https://math.stackexchange.com/a/56710/11172
Quizás se podría comparar este problema con la cuestión de la interpolación de factorial $ n! $ Con valores no enteros de $ n $. En general, tampoco existe una identidad simple que proporcione una extensión natural para esto. Pero, cuando se desea una extensión, la opción habitual es utilizar lo que se llama la “función Gamma”, definida por
$$ Gamma (x) = int_ 0 ^ infty e ^ – t t ^ x-1 dt $$.
Luego, puede extender $ n! $ A $ x $ que no sean enteros por $ x! = Gamma (x + 1) $. Sin embargo, generalmente no se usa $ x! $ Para factoriales no enteros, sino más bien la notación de la función Gamma.
Se puede dar un teorema de unicidad que involucre algunas condiciones analíticas simples; se llama teorema de Bohr-Mullerup. Además, la función gamma tiene varias propiedades teóricas y analíticas agradables, y aparece en varias áreas diferentes de las matemáticas.
Pero en el caso de la tetración, no se conocen representaciones integrales agradables. Henryk Trappmann y algunos otros demostraron recientemente un teorema que da un criterio de unicidad simple para la inverso de tetración (con respecto a la “altura”) aquí, suponiendo una extensión no solo al real, sino a los números complejos:
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009uniabel.pdf
La solución que satisface la condición es una que fue desarrollada por Hellmuth Kneser en la década de 1940. Yo lo llamo “función tetracional de Kneser” o simplemente “función de Kneser”. Desafía la descripción simple.
En este sitio:
http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php
Se publicó un algoritmo para calcular la solución de Kneser (aunque no estoy seguro de si se ha probado) para varias bases de tetración. Usando esta solución, la respuesta a su pregunta sería
$$ ^ 4/3 3_ mathrm Kneser = 4.834730793026332 … $$
Se han propuesto otras interpolaciones para la tetración, algunas de las cuales dan resultados diferentes. Pero este es el único que parece satisfacer propiedades “agradables” como la analiticidad y tiene un teorema de unicidad simple a través de su inverso. Sin embargo, como dije al principio, no creo que la comunidad matemática en general esté de acuerdo universalmente en que esta sea “la” respuesta.
Aquí hay una implementación de preguntas y respuestas en Pari / GP para tener una idea de lo que está sucediendo. El “Método Kneser” es mucho más complicado, pero parece que hay una buena posibilidad de que el método simple de abajo (yo lo llamo el “método polinomial”) sea asintótico o se aproxime al método Kneser cuando el tamaño de las matrices se incrementa sin límites.
n=32 \ Size for matrix and power series. If n=48 ...
default(realprecision,800) \ ... choose realprecision at least 2000!
\ For n=64 Pari/GP needs much more digits
\ and time
default(format,"g0.12") \ display only 12 significant digits
[b =3, bl=log(b)] \ we choose exponentiation/tetration to base bb=3
Bb = matrix(n,n,r,c,(bl*(c-1))^(r-1)/(r-1)!) ; \ create the Carleman-matrix
\ for iterable z1 = 3^z0
tmpM=mateigen(Bb); \ invoke diagonalization to
tmpW = tmpM^-1; \ allow fractional powers of
tmpD=diag(tmpW*Bb*tmpM); \ the matrix Bb
\ ==============================================================================
h=4/3 \ the tetration-"height" can be fractional;
\ and is best in the interval 0..1
coeffs=tmpM * vectorv(n,r, tmpW[r,2]*tmpD[r]^h)
\ coeffs of the new power series for h=4/3
z0 = 1.0 \ default starting value with
\ tetration is usually z0=1
z1 = sum(k=0, n-1, z0^k * coeffs[1+k]) \ = z0 tetrated to height ...
\ ... 4/3 with base 3
\ results:
\ 4.8347111352647465948 \ n=32 use matrix-size n=32
\ 4.8347252436478228906 \ n=48 when run with matrixsize n=48
\ \ n=64 : expected to approximate Kneser-value
\ \ if matrix size is increased
\ 4.834730793026332... \ reference by kneser-method as shown by @Mike4ty4
Ésta puede ser una posible respuesta.
Sea $ f (x) = log_ 10 (x + 1) $ y $ g (x) = 10 ^ x-1 $ (función inversa de $ f $).
Entonces sea $ f ^ n (x) = f (f ( cdots (f (x)) cdots)) $ con n $ f $, de manera similar para $ g $.
$$ ^ x + 2 10 approx lim_ n to infty g ^ n (f ^ n (10 ^ 10) cdot ( ln10) ^ x) $$
Los valores se comportan bastante bien para valores x positivos. Con $ x = 0.5 $ y $ n = 40 $, obtuve $ ^ 2.5 10 approxx4.106483157 times10 ^ 294 $. Con $ x = 1 $ y $ n = 40 $, obtuve $ ^ 310 approx9.881444237 times10 ^ 9,999,999,999 $ (no exacto porque solo hice 40 iteraciones).
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