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Cómo escribir permutaciones como producto de ciclos disjuntos y transposiciones

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Solución:

Usaré un ciclo más largo para ayudar a describir dos técnicas para escribir ciclos separados como producto de transposiciones:

Digamos $tau = (1, 3, 4, 6, 7, 9) in S_9$

Luego, tenga en cuenta los patrones:

Método 1: $tau = (1, 3, 4, 6, 7, 9) = (1, 9)(1, 7)(1, 6)(1, 4)(1, 3)$

Método 2: $tau = (1, 3, 4, 6, 7, 9) = (1, 3)(3, 4)(4, 6)(6, 7)(7, 9)$

Ambos productos de transposiciones, método $1$ o método $2$, representan el misma permutación, $tau$. Tenga en cuenta que el orden de los disjuntos ciclo $tau$ es $6$, pero en ambas expresiones de $tau$ como producto de transposiciones, $tau$ tiene $5$ (número impar de) transposiciones. Por lo tanto $tau$ es un permutación impar.


Ahora, no olvides multiplicar las transposiciones que obtienes para cada ciclo disjunto para obtener una expresión de la permutación $S_11$ como el producto del producto de las transposiciones y determinar si es par o impar:

$sigma = (1, 4, 10)(3, 9, 8, 7, 11)(5, 6)$.

  • El orden de $sigma = operatornamelcm(3, 5, 2) = 30$.
  • Expresando $sigma $ como el producto de transposiciones:

    • $sigma =(1, 4)(4, 10)(3, 9)(9, 8)(8, 7)(7, 11)(5, 6):quad 7$ transposiciones en total, entonces $ sigma $ es un permutación impar (que pasa a ser de orden parejo).
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