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Solución:
El término de colisión
$$ cal I _ coll simeq frac f-f_0 tau $$
conocido como la aproximación del tiempo de relajación (o BGK, Bhatnagar-Gross-Krook), es un modelo fenomenológico simple que puede estar motivado, pero no derivado, de teorías más microscópicas (por supuesto, si calcula solo un número, siempre hay un valor de $ tau $ que dará la respuesta correcta, y esto a veces se utiliza para proporcionar fórmulas explícitas para $ tau $).
En general, el problema de derivar la ecuación de Boltzmann y el término de colisión a partir de teorías microscópicas es muy complejo. La situación más simple, tratada en los libros de texto estándar, surge cuando el sistema está dominado por la dispersión elástica de 2 cuerpos. Luego
$$ izquierda. frac parcial f parcial t derecha | _ coll = int dv_2 int d Omega , frac d sigma d Omega , | v_1-v_2 | izquierda (f (v_1 ‘) f (v_2’) – f (v_1) f (v_2) derecha) $$
dónde $ d sigma / d Omega $ es la sección transversal para $ (v_1, v_2) a (v_1 ‘, v_2’) $. Esta sección transversal puede ser clásica (derivada de trayectorias clásicas en un potencial) o cuántica (el cuadrado de una amplitud, calculada, por ejemplo, usando diagramas de Feynman). En el caso clásico, esto se sigue de la ecuación de Liouville y la jerarquía BBGKY. En el caso cuántico, esto fue estudiado por primera vez por Baym y Kadanoff, y se describe en su libro de texto. Este resultado es para partículas clásicas (estadísticas de Boltzmann), pero se puede generalizar fácilmente a las estadísticas de Bose o Fermi, agregando el bloqueo de Pauli o los factores de mejora de Bose.
La literatura contiene una variedad de extensiones, por ejemplo, para múltiples especies, colisiones ineláticas, colisiones de tres cuerpos, radiación (como en QED), etc. Derivar estos términos de colisión a partir de la teoría microscópica se vuelve cada vez más difícil.
Finalmente: ¿Cómo motivar la aproximación a la aplicación BGK? El término de colisión es una función no lineal de la función de distribución,
$$ izquierda. frac parcial f parcial t derecha | _ coll = cal I _ coll[f] . $$
Podemos definir un núcleo de colisión linealizado expandiéndonos alrededor de la distribución de equilibrio $ f_0 $$$ cal I _ coll[f]= cal I _ coll[f_0+delta f] simeq L[delta f]. $$
Uno puede demostrar que $ L $ es un operador hermiteano, semi-definido negativo. Esto significa que podemos diagonalizar $ L $$$ L = – sum_i frac tau_i $$
donde los valores propios $ tau_i $ son un conjunto de tiempos de relajación, y el $ chi_i (v) $ son las funciones propias correspondientes de $ L $ (y he usado la notación bra-ket como en QM). Si considero la ecuación de Boltzmann en el límite de tiempo largo (hidrodinámico), el tiempo de relajación más largo domina y
$$ L[delta f] simeq – frac tau_0 simeq – frac tau_0 $$
que es la forma BGK.
La “ecuación cuántica de Boltzmann”
Hay una extensión semiclásica de la ecuación de Boltzmann por Uehling y Uhlenbeck [1] (a veces llamada la “ecuación cuántica de Boltzmann”), destinada a explicar cómo las estadísticas de Fermi-Dirac o Bose-Einstein afectan la probabilidad de que ocurra una colisión en particular. Su operador de colisión lee
$$ mathcal I _ mathrm coll ( vec v_1) = int | vec v_1- vec v_2 | frac d sigma d Omega [
f_1′ f_2′(1 + eta f_1)(1 + eta f_2)
– f_1 f_2(1 + eta f_1′)(1 + eta f_2′)
] d ^ 3v_2 d ^ 2 Omega $$
donde “1” y “2” etiquetan las velocidades de las dos partículas en colisión, los números primos indican la velocidad posterior a la colisión y las decoraciones en las funciones de distribución $ f $ son abreviaturas para el argumento de velocidad, por ejemplo, $ f_1 ‘= f ( vec v_1’) $. La cantidad $ eta $ depende de las estadísticas de las partículas:
$$ eta = begin cases 1 & text bosons \ -1 & text fermions \ 0 & text classic end cases $$
En particular, se puede ver que en el caso clásico, se recupera la ecuación de Boltzmann ordinaria. Hay dos formas en las que la mecánica cuántica aparece en este operador de colisión.
Los nuevos factores que involucran $ eta $ aumenta la probabilidad de colisiones entre bosones o disminuye la probabilidad entre fermiones. En la ecuación de Boltzmann ordinaria ($ eta = 0 $), las cantidades como $ f_1 f_2 $ tener la interpretación
$$ f_1 f_2 = text la probabilidad de que, antes de la colisión, la partícula 1 tenga velocidad $ vec v_1 $ y la partícula 2 tenga velocidad $ vec v_2 $ $$
Los nuevos factores estadísticos cuánticos modifican esto según sea apropiado para bosones o fermiones. Para concreción, considere fermiones:
$$ f_1 (1 – f_1 ‘) = text la probabilidad de que, antes de la colisión, la partícula 1 tenga velocidad $ vec v_1 $ * pero no * $ vec v_1’ $ $$
(y repita para la partícula 2). Ese segundo factor refuerza el principio de exclusión de Pauli. Previene colisiones que harían que una partícula en colisión terminara en un estado que ya está ocupado por alguna otra partícula. (En la literatura, esto a menudo se denomina “bloqueo de Pauli”). Para los bosones, $ eta = + 1 $ causa el efecto contrario, por lo que es preferente que las partículas choquen de modo que terminen en estados ya ocupados.
Una propiedad importante de la ecuación de Uehling-Uhlenbeck es que la función de distribución de equilibrio es
$$ f_0 ( vec v) = frac 1 e ^ vec v + eta $$
que es la distribución de Bose-Einstein, Fermi-Dirac o Maxwell-Boltzmann, según el valor de $ eta $.
[1] EA Uehling y GE Uhlenbeck, Phys. Rvdo.43552 (1933).
La sección transversal cuántica
Independientemente de si se usa la ecuación cuántica o clásica de Boltzmann, en principio siempre se debe usar una sección transversal de colisión calculada mecánicamente cuántica. Esto significa dos cosas:
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La sección transversal debe provenir de la teoría cuántica de la dispersión de dos partículas. Esto podría significar un cálculo de cambio de fase, una aproximación de Born o lo que sea. Cualquier libro de texto de introducción a la gestión de la calidad debe cubrir estos temas. Si está trabajando con condiciones de material calientes y / o diluidas, puede salirse con la suya calculando la sección transversal de forma clásica.
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Para las colisiones entre partículas de la misma especie, la sección transversal debe tener en cuenta el hecho de que las partículas idénticas son indistinguibles. Esto reducirá o mejorará la sección transversal dependiendo de si las partículas son fermiones o bosones. Por lo general, este tema se trata en los libros de texto de QM para graduados. Tenga en cuenta que no existe un límite clásico para este fenómeno, por lo que incluso si está tratando el problema de la colisión binaria de manera clásica, esa sección transversal debe corregirse para tener en cuenta la identidad de las partículas.
El tiempo de relajación cuántica
Si su aplicación está formulada en la aproximación del tiempo de relajación, QM se muestra de dos maneras:
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La función de distribución de equilibrio, $ f_0 $, es la distribución de Fermi-Dirac, Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann como se describe en la primera sección.
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El tiempo de relajación debe estar dado por una sección transversal cuántica, como se describe en la segunda sección. Es decir, todavía se puede tomar
$$ tau ( vec v) = frac 1 vec v $$
siempre que la sección transversal de transferencia de momento
$$ sigma ^ (1) (| vec v |) = int_0 ^ 2 pi int_0 ^ pi (1 – cos theta) frac d sigma d Omega sin theta , d theta , d phi $$
se calcula utilizando una sección transversal diferencial de mecánica cuántica.
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