Después de tanto trabajar hemos dado con la respuesta de esta pregunta que muchos de nuestros usuarios de esta web han presentado. Si tienes algún detalle que compartir no dudes en dejar tu conocimiento.
Solución:
También tuve problemas con esto durante mucho tiempo. La explicación que finalmente funcionó para mí fue la siguiente:
A los efectos del transporte paralelo a lo largo de un círculo particular de latitud, la esfera puede ser reemplazada por el cono que es tangente a la esfera a lo largo de ese círculo, ya que un “planeador” que vive en la superficie y viaja a lo largo del círculo experimentaría lo mismo. torsión del plano tangente en el espacio ambiente”, independientemente de si la superficie es una esfera o un cono.
Y para el cono, hay una manera fácil de ver que efectivamente hay una rotación del vector transportado con respecto al vector tangente de la curva: simplemente corte el cono y colóquelo plano sobre la mesa, de modo que el transporte paralelo sea simplemente transporte paralelo ordinario en el avión.
Una imagen dice más que mil palabras, y encontré una buena aquí: Una discusión simple de la Fase Berry (NP Ong, Physics, Princeton Univ.).
Los campos de vectores rojo y azul en su imagen no son paralelos a lo largo de la curva rosa. Una forma de ver esto es notar que puedes calcular la derivada covariante de un campo vectorial a lo largo de una curva en la esfera calculando su derivada ordinaria en $mathbb R^3$, y luego proyectándola ortogonalmente en el plano tangente. En cualquier punto del círculo rosa, la derivada ordinaria del campo vectorial azul apunta hacia el centro del círculo rosa. Dado que no es ortogonal al plano tangente, su proyección ortogonal sobre el plano tangente es distinta de cero.
Una forma de ver que el campo vectorial azul no es paralelo es observar que es el campo vectorial correspondiente a la velocidad. Si fuera paralelo, el círculo rojo sería una geodésica. Pero las geodésicas en la esfera son los grandes círculos.
(En realidad, esto es lo mismo que dice Jack Lee, pero expresado de manera diferente).
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