Te damos la solución a este conflicto, o por lo menos eso pensamos. Si presentas preguntas puedes dejar un comentario, para nosotros será un gusto responderte
Solución:
Encontrar generadores de un grupo cíclico depende del orden del grupo. Si el orden de un grupo es $8$ entonces el número total de generadores del grupo $G$ es igual a enteros positivos menores que $8$ y co-principal para $8$. Los números $1$, $3$, $5$, $7$ son menos de 8 y coprimos con $8$, por lo tanto si a es el generador de $G$, entonces $a^3,a^5,a^7$ también son generadores de $G.$
Por lo tanto, hay cuatro generadores de $G.$ De igual manera puedes encontrar generadores de grupos de orden $10$, $12$, $6$ etc
Me parece bien tu explicación.
En el caso general, encontrar el generador de un grupo cíclico es difícil. Por ejemplo, creo que no existe un algoritmo rápido para encontrar un generador para el grupo multiplicativo $(mathbb Z/p^kmathbb Z)^times$ cuando $p$ es un primo grande. Pero la mayor parte del tiempo, cuando trabaje con un grupo cíclico, naturalmente también sabrá de un generador.
Si su grupo cíclico tiene orden $n$, afirmo que habrá un generador para cada número entre $1$ y $n-1$ (inclusive) que sea relativamente primo con $n$: en otras palabras, hay $ varphi(n)$ generadores, donde $varphi$ es la función totient de Euler. ¿Por qué mi reclamo es correcto? Supongamos que $g$ es un generador para el grupo, por lo que $g$ tiene el orden $n$. Es un hecho, que te animo a probar si no lo has encontrado, que para un entero $m$ entre $1$ y $n$ el orden de $g^m$ es $n/(m,n)$ , donde $(m,n)$ es el máximo común denominador de $m$ y $n$. Entonces, para que $g^m$ sea un generador, o de manera equivalente, para que $g$ tenga un orden de $n$, es necesario y suficiente que $m$ sea relativamente primo con $n$. Y cada elemento del grupo tiene la forma $g^m$ para unos $m$. Por lo tanto, hay $varphi(n)$ generadores.
Si su grupo cíclico tiene un orden infinito, entonces es isomorfo a $mathbb Z$ y tiene solo dos generadores, las imágenes isomorfas de $+1$ y $-1$. Pero todos los demás elementos de un grupo cíclico infinito, excepto $0$, son generadores de un subgrupo propio que nuevamente es isomorfo a $mathbb Z$.
1.) Para pedidos de grupos grandes, no es adecuado evaluar explícitamente todas las potencias de un generador opcional para probar el pedido del elemento.
2.) El hecho de que un grupo finito cíclico multiplicativo sea isomorfo a algún subgrupo finito aditivo en ℤ no ayuda, ya que el isomorfismo está definido exactamente por un generador.
Criterio: Un elemento $g$ de grupo multiplicativo de orden $(p-1)$ en $ℤ/pℤ$ con primo $p$ es un generador, iff para cada factor primo $q$ en la factorización de $p-1$
g^((p-1)/q) <> 1
sostiene
Esto excluye $g$ de ser generador de un subgrupo real y reduce el problema a la factorización de $p-1$.
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