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¿Cómo encontrar todas las ternas pitagóricas que contienen un número dado?

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Solución:

Insinuación: No hay triángulos rectángulos enteros con una hipotenusa de 12 (¿por qué?), entonces el lado de longitud $12$ debe ser un cateto, y luego $144 = c^2-b^2 = (c+b)(cb)$.

Sea un triple pitagórico de la forma $(x,y,z)$ donde uno de $x, y$ o $z$ es 12. De la teoría elemental de números sabemos que $z$ es impar, y $x not equiv y pmod2$ (es decir, uno de $x$ y $y$ es impar y el otro es par). (Omitiré la prueba de esto, pero es bastante simple). También sabemos que para las ternas pitagóricas primitivas: $$x=2pq, \ y=p^2-q^2 \ z=p^2+q^2\$$ para alguna $p>q>0$ .

Por lo tanto, sabemos que 12 debe ser $x$ ya que $x$ es par, así que observamos todos los factores de $6$ para encontrar los posibles valores de $p,q$.

$$ 6 = 6 cdot 1=2 cdot 3 $$

Así que nuestros posibles valores para $p$ son: $p=6$ o $p=3$, y nuestros posibles valores para $q$ son: $q=1$ y $q=2$.

Con $p=6,q=1$ obtenemos: $x=12,y=35,z=37$ y $P=x+y+z=84$.

Con $p=3,q=2$ obtenemos: $x=12,y=5,z=13$ y $P=30$.

Entonces el perímetro máximo corresponde al triángulo con lados $12, 35, 37$ y perímetro $84$.

—EDITAR—

Lo anterior solo consideró triples pitagóricos primitivos. Para considerar todos los P.ts debemos mirar aquellos donde todos los números son menores que 12 y encontrar las ternas no primitivas que surgen de ellos. Estos son:

$$(4,3,5) rightarrow (12,9,15),(16,12,20) $$ Al multiplicar por $3$ y $4$ respectivamente.

Ninguno de estos triples da lugar a un perímetro mayor a $84$, por lo que el triángulo con un lado de longitud $12$ con mayor perímetro es el triángulo correspondiente a $(12,35,37)$

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