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Solución:
El polinomio característico de la matriz es $p_A(x) = det (xI-A)$. En tu caso, $A = beginbmatrix 1 & 4 \ 2 & 3endbmatrix$, entonces $p_A(x) = (x+1)(x-5)$. Por lo tanto, tiene dos valores propios distintos y cada uno ocurre solo una vez, por lo que la multiplicidad algebraica de ambos es uno.
Si $B=beginbmatrix 5 & 0 \ 0 & 5endbmatrix$, entonces $p_B(x) = (x-5)^2$, por lo tanto, el valor propio $5$ tiene una multiplicidad algebraica de $2$ . Como $dim ker (5I-B) = 2$, la multiplicidad geométrica también es $2$.
Si $C=beginbmatrix 5 &1 \ 0 & 5endbmatrix$, entonces $p_C(x) = (x-5)^2$ (igual que $p_C$), por lo tanto, el valor propio $5 $ tiene multiplicidad algebraica $2$. Sin embargo, $dim ker (5I-C) = 1$, la multiplicidad geométrica es $1$.
Muy Hablando libremente, la matriz es ‘deficiente’ en algún sentido cuando las dos multiplicidades no coinciden.
La multiplicidad algebraica de un valor propio $lambda$ es la potencia $m$ del término $(x-lambda)^m$ en el polinomio característico.
La multiplicidad geométrica es el número de vectores propios linealmente independientes que puedes encontrar para un valor propio.
Permítanme explicar las dos multiplicidades que sé que están relacionadas con los valores propios de las matrices:
En primer lugar, ¿cuál es el valor propio de una matriz $A$? Por definición consiste en los ceros del polinomio: $det(A-xI)$. Entonces, las multiplicidades que ocurren en este polinomio se definen como las multiplicidades de los valores propios.
En segundo lugar, dado que, para un valor propio $lambda$, tenemos $det(A-lambda I)=0$, es decir, $A-lambda I$ es una matriz singular, y la transformación lineal que define tiene un núcleo no trivial. Entonces se dice que la dimensión de este núcleo es la multiplicidad geométrica del valor propio.
Por tanto, en un caso, uno tiene que calcular algún polinomio; mientras que, por otro lado, uno tiene que calcular algunas transformaciones, encontrar su núcleo y determinar la dimensión del núcleo, para encontrar los multiplicitos de los valores propios. Observe aquí que tiene una matriz de $2times 2$ con valores propios de $2$ y, por lo tanto, deben tener multiplicidades de $1$. Es decir, las dos nociones coinciden y la matriz en cuestión debe ser diagonalizable.
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