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Solución:
Sea $a=3.05, b=2.23.$ Entonces una ecuación paramétrica para la elipse es $x=acos t, y=b sin t.$ Cuando $t=0$ el punto está en $(a ,0)=(3.05,0)$, el punto inicial del arco en la elipse cuya longitud buscas. Ahora es importante darse cuenta de que el parámetro $t$ es no el ángulo central, por lo que necesita obtener el valor de $t$ que corresponde al extremo superior de su arco. En ese extremo tienes $y/x=tan 50$ (grados). Y en términos de $t$ tienes $y/x=(b/a)tan t$. Resolviendo para $t$ se obtiene $$t=t_1=arctan left( fracabtan 50 right).$$
[note I’d suggest using radians here, replacing the $50$ by $5pi/18.$]
Para la longitud de arco, use la fórmula general de integrar $sqrtx’^2+y’^2$ para $t$ en el rango deseado. En tu caso $x’=-a sin t, y’=b cos t$, por lo que estás integrando $$sqrta^2 sin^2t+b^2 cos^2t$ $ con respecto a $t$ desde $0$ hasta el anterior $t_1$. Al no haber una forma cerrada simple para la antiderivada (es una “integral elíptica”, el enfoque más simple ahora sería hacer la integral numéricamente. Esto parece más apropiado en su problema ya que solo sabe $a,b$ hasta dos decimales , aparentemente.
* Cuando hice esto numéricamente en arce obtuve alrededor de $2.531419$ por la longitud del arco.
Puedes calcular esto como
$$d=b,Ebigl(tan^-1(a/b,tan(theta)),big|,1-(a/b)^2bigr) $$
usando la integral elíptica incompleta de segundo tipo $E(varphi,|,m)$. En Mathematica-Syntax (y adecuado para Wolfram Alpha) esto se puede escribir como
2.23*EllipticE[ArcTan[3.05/2.23*Tan[50°]],1-(3.05/2.23)^2]
Adapté esto de esta publicación que investiga el problema inverso (dada la longitud del arco, encuentra el ángulo) pero en el camino también trata esta dirección del problema. Como se indica allí, esta conversión de ángulo solo funcionará para el primer y último cuadrante. De lo contrario, ajuste el ángulo o busque en esa publicación una fórmula alternativa para usar en su lugar.
Con unos pocos dígitos más de precisión, la respuesta se devuelve como $2,5314195265536624417$, que esencialmente coincide con las otras dos respuestas aquí. Por supuesto, imprimir tantos dígitos en la respuesta es de muy mal estilo si la entrada solo se da con dos decimales. Muestra que la integración numérica de Jyrki es un poco menos precisa que lo que hizo CoffeeMath, pero incluso él debería haber redondeado teóricamente en la otra dirección.
Dando un cálculo de Mathematica. Mismo resultado que coffeemath (+1)
In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],t,0,1.02051]
Out[4]= 2.53143
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