Solución:
Este es un lugar donde físicos y matemáticos formularían la pregunta de manera diferente. Un matemático diría que $ d theta / dx $ no está definido en $ 0 $, y que $ delta $ no es una función. Sin embargo, como dice Mariano, la afirmación es cierta “en el sentido de distribuciones”.
¿Qué significa eso? Una distribución es un dispositivo que toma como entrada una función uniforme $ g (x) $, que es cero para $ | x | $ suficientemente grande, y devuelve un número real. Cuando pensamos en una función ordinaria como una distribución, eso nos hace pensar que $ f $ corresponde al gadget $ F: g mapsto int f (x) g (x) dx $. Observe que cambiar $ f $ en un número finito de puntos deja inalterado $ F $. Desde un punto de vista físico, si $ f $ es algo así como el valor de un campo eléctrico en un punto, nunca sabríamos si tuvo una discontinuidad finita en algún momento, por lo que el dispositivo $ F $ captura todo lo que se puede medir físicamente. alrededor de $ f $.
Ahora bien, ¿cómo podemos ver la diferenciación en términos de distribuciones? Por integración por partes, tenemos $ int f ‘(x) g (x) dx = – int f (x) g’ (x) $. Entonces, para cualquier distribución $ F $, definimos la derivada de $ F $ como el gadget $ g mapsto -F (g ‘) $.
Ahora, dejemos que $ F $ corresponda a $ theta $, entonces $ F (g) = int _ {- infty} ^ 0 g (x) dx $. La distribución delta de Dirac es $ delta (g) = g (0) $. Te dejo mostrar que $ F ‘(g) = delta (g) $, con las definiciones anteriores.
Tendría curiosidad por ver cómo respondería un físico a esta pregunta. Sospecho que he actuado como un francés.
Por definición, $ delta (x) $ satisface $$ int _ {- infty} ^ infty f (x) delta (x) dx = f (0) $$ para cualquier función continua $ f $ en $ mathbb {R} $.
Por definición de derivada en la teoría de la distribución, $$ int _ {- infty} ^ infty f (x) theta ‘(x) dx = – int _ {- infty} ^ infty f’ (x) theta (x) dx $$ para cualquier función $ C ^ 1 $ $ f (x) $ que desaparece fuera de un intervalo acotado.
Ahora $$ – int _ {- infty} ^ infty f ‘(x) theta (x) dx = – int_0 ^ infty f’ (x) dx = -f ( infty) + f (0) = f (0) = int _ {- infty} ^ infty f (x) delta (x) dx. $$
Entonces $ theta ‘(x) = delta (x) $.
Me gustaría agregar una respuesta que intentará justificar la declaración con un ejemplo. Considere la secuencia de funciones $$ f_n = left { begin {align} 0 & text {if} | x |> 1 / n \ n ^ 2x ^ 2/2 + nx + 1/2 & texto {if} -1 / n leq x leq 0 \ -n ^ 2x ^ 2/2 + nx + 1/2 & text {if} 0
Estas funciones son diferenciables en todas partes y se aproximan cada vez mejor a la función de paso unitario a medida que $ n $ se hace más grande. Si miramos las derivadas de estas funciones, veremos que son una secuencia de funciones de la tienda que se vuelven más estrechos y altos, como Griffith usa para introducir la función delta.
En realidad, con un modo apropiado de convergencia, cuando una secuencia de funciones diferenciables converge al paso unitario, se puede demostrar que sus derivadas convergen a la función delta. Por eso, se puede tomar la derivada de la función de paso unitario como definido como el límite de las derivadas, que es la función delta.