Recuerda que en las ciencias informáticas cualquier problema casi siempre tiene varias resoluciones, de igual modo te mostraremos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
Las condiciones de contorno por sí mismas no pueden decirle nada sobre un conductor. ¡Las condiciones de contorno ni siquiera pueden decir qué lado de la superficie tiene el conductor!
Una forma de modelar un conductor es como un conductor óhmico donde hay un $ sigma $ constante (diferente a la densidad de carga superficial que figura en sus condiciones de contorno) y luego afirma la condición óhmica:
$$ vec J = sigma vec E $$ y luego puedes tomar la divergencia de ambos lados y obtener $$ sigma frac rho epsilon_0 = sigma vec nabla cdot vec E = vec nabla cdot vec J $$
Donde usamos la ecuación de Maxwell $ dfrac rho epsilon_0 = vec nabla cdot vec E $ y también podemos tomar la divergencia de $$ vec nabla times vec B = mu_0 vec J + mu_0 epsilon_0 frac partial vec E partial t $$ para obtener la ecuación de continuidad
$$ vec nabla cdot vec J = – epsilon_0 vec nabla cdot frac parcial vec E partid t = – frac partial rho partid t . $$
Esto significa que tenemos $$ frac partial rho partial t = – vec nabla cdot vec J = – frac sigma epsilon_0 rho. $$
Por lo tanto, es posible que haya comenzado con una densidad de carga inicial, pero cada lugar dentro del conductor decae exponencialmente con el tiempo.
Y esto se relaciona con la formulación del valor inicial de la electrodinámica. Empiezas con un campo electromagnético físico real en un momento y luego evoluciona de acuerdo con $$ frac partial vec B partial t = – vec nabla times vec E, text y $$
$$ frac parcial vec E parcial t = frac 1 epsilon_0 left ( frac 1 mu_0 vec nabla times vec B- vec J derecha) $$
Entonces, los campos en un momento posterior son una consecuencia de los campos en un momento anterior (y el actual) y las ecuaciones de evolución anteriores.
Entonces, para un material óhmico, sabemos $ vec J $, por lo que podemos desarrollar los campos porque las ecuaciones de evolución solo se resuelven por Maxwell para las tasas de cambio en el tiempo.
Entonces tenías una distribución de carga inicial y un campo eléctrico inicial. Podrían haber sido cero, podrían haber sido distintos de cero.
He visto muchos argumentos “conceptuales” de que si hubiera un campo, las cargas se moverían y producirían un campo que cancelara este.
Si piensa en la estática como el límite de tiempo a largo plazo de la dinámica, entonces no tiene que ser conceptual. Un material óhmico literalmente tiene una corriente distinta de cero donde hay un campo eléctrico distinto de cero. Pero esa corriente hace que la carga desaparezca, puede imaginar lugares donde la densidad de carga es positiva y negativa inicialmente y las líneas de corriente del campo eléctrico inicial podrían conectar algunos de esos y / o pueden conectar esos lugares a la superficie. Y dado que la corriente apunta de la misma manera, podemos ver que esta densidad de carga que disminuye exponencialmente se debe a que las densidades de carga opuestas se cancelan entre sí a medida que fluye la carga o el desequilibrio de carga se mueve hacia la superficie, aumentando así la densidad de carga de la superficie con el tiempo.
La densidad de carga en la superficie puede cambiar de una manera diferente a la que disminuye exponencialmente con el tiempo. ¿Por qué? Porque $ sigma $ (de la condición óhmica) no es constante a lo largo de la superficie en el límite del conductor. De hecho, el límite del conductor podría tener un vacío con $ vec J = vec 0 $ en el otro lado.
¿Podemos argumentar que el campo eléctrico es cero en el interior? Si y no. Por un lado, si afirmamos que parte de la estática es $ vec J = vec 0 $, entonces tenemos $ vec E = vec 0 $ de inmediato. Pero eso es más como suponer. Pero si permite $ vec J neq vec 0 $, entonces su conductor podría tener una densidad de carga cero en todas partes, pero tener una corriente estable siempre que el límite del conductor reciba la corriente que necesita para esa corriente estable.
Es una solución totalmente válida de Maxwell tener un alambre infinito cilíndrico apuntando en la dirección $ hat z $ con un uniforme distinto de cero $ vec J $ apuntando en la dirección $ hat z $ dentro del alambre infinito cilíndrico.
Entonces, siempre que tenga un contraejemplo, sabrá que necesita fortalecer su hipótesis. Esa situación puede tener un static campo eléctrico invariable, pero tiene una corriente distinta de cero.
Debe usar la ley de Ohm: $ J = sigma E $ que debe agregarse a las ecuaciones de Maxwell como una observación general, como se explica en esta respuesta.
Luego puede concluir que el campo eléctrico es cero en un conductor para:
- conductor perfecto donde $ rho = 1 / sigma = 0 $ y $ J $ es finito
- static caso donde $ J = 0 $ y $ sigma $ es finito
Sección de Reseñas y Valoraciones
Si sostienes algún recelo y forma de arreglar nuestro división puedes añadir una explicación y con deseo lo observaremos.