Contamos con el hallazgo a esta duda, al menos eso deseamos. Si sigues con interrogantes puedes escribirlo en el apartado de preguntas, que sin dudarlo te ayudaremos
Solución:
$omega^omega$ es contable porque es la unión de una colección contable de conjuntos, cada uno de los cuales es contable en sí mismo: $$omega^omega = bigcup_i Por lo tanto, basta con mostrar que: (1) debe resultarle familiar; es el argumento habitual de Cantor para demostrar que los racionales son contables. Si los conjuntos contables son $S_0, S_1ldots$ con elementos $S_i = s_i0, s_i1, ldots$, entonces podemos enumerar la unión de $S_i$ como $s_ 00; s_10, s_01; s_20, s_11, s_02; s_30, ldots$. (2) tampoco es difícil; puede probar que el producto de dos conjuntos contables es contable (esencialmente como en el párrafo anterior) y luego mostrar que dado que $omega^i+1 = omegatimesomega^i $, la contabilidad de $omega ^i+1$ se sigue de $omega^i$, que es suficiente para establecer el resultado. (Es posible que desee buscar la noción de cofinalidad. Un ordinal $X$ tiene cofinalidad contable si es una unión contable de ordinales más pequeños. Si esos ordinales más pequeños son contables, entonces $X$ es contable. Entonces, para mostrar que $ omega^omega$ es contable, basta con mostrar que tiene cofinalidad contable, lo que podemos hacer observando que es la unión de los ordinales contables $omega^i$ para $i$ finitos.) Luego, de manera similar, si $C$ es un ordinal contable, $omega^C$ es contable. Porque podemos escribir una secuencia contable $c_0, c_1,ldots$ cuyo límite es $C$, y luego $omega^C = bigcup omega^c_i$ expresa $omega^C$ como una unión contable de conjuntos contables. Así que no solo $omega$ y $omega^omega$ son contables, también lo son $omega^omega^omega, omega^omega^omega^omega ldots$ . Y luego podemos tomar la unión de numerable la secuencia de conjuntos contables $omega, omega^omega, omega^omega^omega, omega^omega^omega^omega ldots$ y concluya que esta unión, generalmente escrita como $epsilon_0$, también es contable. $epsilon_0$ tiene la propiedad de que es el ordinal más pequeño $x$ para el cual $x=omega^x$. Hay una secuencia infinita de ordinales contables con esta propiedad, y su unión sigue siendo contable. Hay bastantes ordinales contables, y algunos de ellos son monstruos muy extraños. Véase, por ejemplo, el ordinal Church-Kleene y el ordinal Feferman-Schütte. En términos generales, el mejor curso de acción cuando se trata de demostrar que $alfa$ es un ordinal contable, es mostrar que: Por ejemplo, $epsilon_0$ es el límite de $omega^omega,omega^omega^omega,omega^omega^omega^omega,ldots$. Podemos demostrar que este es el límite de la función recursiva $f(n+1)=omega^f(n)$ y $f(0)=omega$. Podemos demostrar además que si $beta$ entonces es contable $omega^beta$ también es contable (tenga en cuenta que esta es una exponenciación ordinal) y, por lo tanto, $epsilon_0$ es el límite contable de ordinales contables y por lo tanto contable. El mismo método se puede aplicar a los ordinales generales, aunque la obtención de tales $f$ suele ser más difícil que en el caso de $epsilon_0$. Una advertencia es que esto es true en ZFC pero no necesariamente en ZF, donde una unión contable de ordinales contables podría no ser contable. Si conservas alguna desconfianza o capacidad de refinar nuestro artículo puedes escribir una disquisición y con gusto lo estudiaremos.