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¿Cómo crear un campo vectorial cuyo Curl y Divergencia sean cero en cualquier punto?

Queremos darte la mejor información que descubrimos en línea. Deseamos que te sirva de ayuda y si puedes comentarnos algún detalle que nos pueda ayudar a mejorar siente la libertad de hacerlo..

Solución:

Tome cualquier función armónica $phi$ y configure su campo vectorial para que sea $v = nabla phi$, el gradiente.

Editar en cualquier simplemente conectado dominio (si su espacio es solo el espacio euclidiano completo, por ejemplo), cualquier campo vectorial libre de rotaciones se puede escribir como el gradiente de una función. Puede ver esto explícitamente verificando que dado un campo vectorial libre de rotaciones $v$, la función $phi(x) = int_C v(s)cdot ds$ donde $C$ es una curva que comienza en el origen y final en el punto $x$ es independiente de la elección de la curva $C$, y por lo tanto $phi$ está bien definida. (Esto generalmente se trata en ningún libro de texto introductorio sobre cálculo vectorial, y es una instancia especial del teorema de Stokes.) Una vez que tenga eso, introduzca $v = nabla phi$ en la ecuación de divergencia y obtendrá automáticamente que $nabla^2phi = 0$.

Hay un teorema (que a priori no tiene nada que ver con el teorema de Stokes) que se llama Lema de Poincarais. La versión que se aplica aquí establece que en $U$, un subconjunto suficientemente convexo de (o todo) $R^3$.

a) por cada campo vectorial libre de divergencia V existe otro campo A tal que $nabla times A = V$.

b) para todo campo vectorial libre de rotaciones V existe un campo escalar $phi$ tal que $nabla phi = V$.

Consulte los libros de texto si está interesado en la definición de 'suficientemente convexo'.

Uno puede usar una de esas declaraciones para simplificar nuestra búsqueda, porque usar este teorema reduce nuestros requisitos de dos ($nabla times V = 0, nabla cdot V = 0$) a uno. Por ejemplo, usemos b). Entonces, nuestra búsqueda se reduce a encontrar una solución a la ecuación de Laplace $nabla cdot nabla phi = 0$ y el segundo requisito ($nabla times V = 0$) se cumplirá automáticamente. Además, el Lema de Poincarais nos asegura que esta es una forma de generar TODOS esos campos.

Ahora, ¿cómo resolver la ecuación de Laplace?

Parece que la buena postura (existencia y singularidad de una solución) de esta ecuación requiere información adicional: los datos de los límites. Más específicamente, tenemos que proporcionar valores suaves del campo $phi$ en el límite $parcial U$ del conjunto para el que funciona el lema de Poincarais.

Para entender esto, veamos algunos ejemplos:

1) $U = R^3$ (espacio completo). La ecuación de Laplace dice $$left(fracparcial^2parcial x^2+fracparcial^2parcial y^2+fracparcial^2 parcial z^2right) phi(x,y,z) = 0$$ valores límite - $phi = 0$ en todos los infinitos. Entonces vemos de inmediato que podemos encontrar una solución que satisfaga esas condiciones de contorno, es decir, $phi = 0$ en todas partes. Como la solución tiene que ser única, concluimos que el campo encontrado en este caso es $nabla phi = vec0 $ que, por supuesto, es true - ¡el vector 0 no tiene divergencia ni curvatura!

2) $U = R^3$ pero esta vez exigimos $phi to infty$ como $x to infty$ y $phi to -infty$ como $x to -infty$. No decimos nada sobre otras capas límite, por lo que el problema del valor límite es singular en este caso; afortunadamente, lo que perdemos es solo la unicidad. Por ejemplo, podemos tomar $phi(x,y,z)=x$ así como $phi(x,y,z)=3x + y$.

Los campos correspondientes serán $(1,0,0)$ y $(3,1,0)$.

Para clasificar las soluciones tenemos que analizar todos los valores límite posibles. Sí, es un dolor. Pero para la mayoría de los campos del mundo real que decaen en el infinito, la respuesta es simple: no existen tales campos a menos que sean $vec0$ - caso 1)

Cuando $U$ es finito, se deben imponer condiciones de contorno (que es más fácil que en un dominio ilimitado) que, en la mayoría de los casos, provienen directamente del problema físico en cuestión. Luego, uno tiene que adaptar las coordenadas adecuadas para dicha estructura de límites (esférica para esfera, cartesiana para caja, etc.) y resolver BVP para la ecuación de Laplace, que es diferente cada vez, sin una solución general. Sin embargo, la mayoría de los libros de texto sobre electrodinámica están llenos de ejemplos.

La parte más interesante (y menos vista en física) es cuando $U$ se elige de tal manera que las suposiciones de Poincarais Lemma no se cumplen. Pero para esto, consulte el intercambio matemático, por favor 🙂

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