Esta pregunta se puede solucionar de diferentes maneras, sin embargo te compartimos la que en nuestra opinión es la respuesta más completa.
Solución:
Un conjunto de vectores $ v_1, v_2, …, v_n $ es linealmente independiente si y solo si tenemos que
$$ a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_nv_n = 0 ; ; $$
solo Cuándo $ a_1 = a_2 = … = a_n = 0 $.
(Después de todo, cualquier combinación lineal de tres vectores en $ mathbb R ^ 3 $, cuando cada uno se multiplica por el escalar $ 0 $, va a ser el rendimiento del vector cero!)
Entonces, de hecho, se ha mostrado lineal independencia. Y cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes en $ mathbb R ^ 3 $ tramos $ mathbb R ^ 3 $. De ahí su conjunto de vectores es de hecho una base para $ mathbb R ^ 3 $.
Su confusión se debe al hecho de que demostró que el sistema homogéneo solo tenía la solución trivial (0,0,0) y, de hecho, los sistemas homogéneos lo harán. siempre tiene esta solución. El criterio para la dependencia lineal es que existen otros, no trivial soluciones.
Otra forma de verificar la independencia lineal es simplemente apilar los vectores en una matriz cuadrada y encontrar su determinante: si es 0, son dependientes; de lo contrario, son independientes. Este método ahorra un poco de trabajo si así lo desea.
La forma más sencilla de comprobar si un conjunto dado $ (a, b, c), (d, e, f), (p, q, r) $de tres vectores son linealmente independientes en $ Bbb R ^ 3 $ es encontrar el determinante de la matriz, $$ begin bmatrix a & b & c \ d & e & f \ p & q & r end bmatrix $$ es cero o no.
Si el determinante es cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente, es decir, el determinante es distinto de cero, es linealmente independiente. Lo que es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones lineales, $$ begin bmatrix a & b & c \ d & e & f \ p & q & r end bmatrix begin bmatrix x \ y \ z end bmatrix = begin bmatrix 0 \ 0 \ 0 end bmatrix $$ sólo tiene la solución trivial.
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