El tutorial o código que encontrarás en este post es la resolución más fácil y efectiva que encontramos a tus dudas o problema.
Solución:
Los jacobianos de las dos funciones no son iguales por la regla de la cadena.
De hecho, $D(phi(frac1r, costheta)) × DtildeF(r, theta)= DF times D(phi(r, theta))$
No creo que haya ninguna contradicción aquí.
Considere la forma de volumen
$$ omega_rm Cart = dx wedge dy.$$
Su primer cálculo muestra que el retroceso $F^star(omega_rm Carrito)$ es dado por
$$ F^star(omega_rm Cart) = – frac1(x^2+y^2)^2omega_rm Cart.$$
Ahora considere la forma de volumen
$$ omega_rm Polar = dr wedge dtheta.$$
Su segundo cálculo muestra que
$$ F^star(omega_rm Polar)=-frac 1 r^2 omega_rm Polar. $$
Podemos usar esto para volver a calcular $F^star(omega_rm Carrito)$. En vista de que
$$ omega_rm Carrito = r omega_rm Polar,$$
tenemos:
beginalign F^star(omega_rm Cart) &= F^star(romega_rm Polar) \ &= F^star(r) F^star( omega_rm Polar) \ &= frac 1 r left( – frac 1 r^2omega_rm Polar right) \ &= – frac1r ^4 left(romega_rm Polar right) \ &= – frac 1 r^4 omega_rm Cart endalign
lo cual es consistente con el primer cálculo!
En cuanto a la aplicación de la regla de la cadena, tenemos:
$$ (Dbar F)|_(r, theta) = D(phi^-1)|_Fcirc phi(r, theta) (DF)|_ phi(r, theta) (Dphi)|_(r, theta)$$
Él key el punto es que debes evaluar $D(phi^-1)$ en el punto $izquierda(frac x (x^2 +y^2), frac y (x^2 + y^2)derecha)$no en el punto $(x,y)$.
esto es igual a
$$ D(phi^-1)|_Fcirc phi(r, theta) = beginbmatrix fracfracxx^2 + y^2 sqrtleft(fracxx^2 + y^2 right)^2+left( fracyx^2 + y^2right)^2 & fracfracyx^2 + y^2sqrtleft(fracxx^2 + y^2 right)^2+left ( fracyx^2 + y^2right)^2 \ -fracfracyx^2 + y^2left(frac xx^2 + y^2 right)^2+left( fracyx^2 + y^2right)^2 & fracfracx x^2 + y^2left(fracxx^2 + y^2 right)^2+left( fracyx^2 + y^2 right)^2endbmatriz = beginbmatrizcostheta & sin theta \ – rsin theta & rcostheta endbmatriz$$
cual es no el inverso de $(Dphi)|_(r, theta)$.