Esta es la contestación más correcta que encomtrarás aportar, pero mírala detenidamente y valora si se adapta a tu trabajo.
Solución:
Primero consideramos el caso $m=0$ y $n=1$, es decir, $f(x) := exp(-x^2)$ y $$hatf(k) := int_ mathbbR f(x) cdot e^-imath , kx , dx = int_mathbbR exp left(-x^2 right) cdot e ^-imath , k cdot x , dx.$$ Derivando con respecto a $k$ se obtiene $$fracddk hatf(k) = int_mathbb R e^-x^2 cdot (-imath , x) cdot e^-imath , kx , dx = frac12 imath int_ mathbbR left( fracddx e^-x^2 right) cdot e^-imath , kx , dx.$$
Aplicando la fórmula de integración por partes, obtenemos
$$fracddk hatf(k) = – frac12 k cdot int_mathbbR e^-x^2 cdot e^-imath , k , x , dx =- frac12 k cdot hatf(k).$$
La solución única a esta ecuación diferencial ordinaria está dada por
$$hatf(k) =c cdot exp left(- frack^24 right).$$
Como $c=hatf(0) = int_mathbbR f(x) , dx$, se sigue que $c = sqrtpi$. Además, aplicando las siguientes fórmulas bien conocidas
$$beginalign widehatf(x+m)(k) &= e^imath , k cdot m hatf(k) \ widehatf( alfa cdot x)(k) &= frac1alpha cdot hatf left( frackalpha right) qquad alpha>0, finalinear$$
uno puede calcular la transformada de Fourier de $f(x) = exp left(-n^2 cdot (xm)^2 right)$ mediante algunos cálculos sencillos.
$$ beginalign int_-infty^infty e^-x^2,e^-ixxi,mathrmdx &=e^- xi^2/4int_-infty^infty e^-(x+ixi/2)^2,mathrmdx\ &=e^-xi ^2/4int_-infty+ixi/2^infty+ixi/2e^-x^2mathrmdx\ &=e^ -xi^2/4int_-infty^infty e^-x^2mathrmdx\ &=sqrtpi,e^-xi ^2/4tag1 endalign $$ La tercera ecuación se justifica mediante la integración del contorno ya que $e^-x^2=Oleft(e^-mathrmRe( x)^2right)$ como $|mathrmRe(x)|toinfty$ para $|mathrmIm(x)|$ acotados.
Ahora, la simple manipulación de $(1)$ produce $$ beginalign int_-infty^infty e^-n^2(xm)^2,e^-ixxi ,mathrmdx &=int_-infty^infty e^-n^2x^2,e^-i(x+m)xi,mathrm dx\ &=e^-imxiint_-infty^infty e^-n^2x^2,e^-ixxi,mathrm dx\ &=frace^-imxinint_-infty^infty e^-x^2,e^-ixxi /n,mathrmdx\ &=frace^-imxinsqrtpi,e^-xi^2/(4n^ 2)tag2 endalign $$
Si bien Saz ya respondió la pregunta, solo quería agregar que esto puede verse como uno de los ejemplos más simples del principio de incertidumbre que se encuentra en la mecánica cuántica y se generaliza a algo llamado principio de incertidumbre de Hardy. En el contexto de QM, el momento y la posición son duales de Fourier entre sí y, como acaba de descubrir, una función gaussiana que está bien localizada en un espacio no puede estar bien localizada en el otro.
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