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Cómo calcular la suma de variables aleatorias de distribución geométrica

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Solución:

Sean $X_1,X_2,ldots$ rvs independientes que tienen la distribución geométrica con parámetro $p$, es decir, $Pleft[X_i=mright]=pq^m-1$ para $m=1,2.ldots$ (aquí $p+q=1$).

Defina $S_n:=X_1+cdots+X_n$.

Por inducción sobre $n$ se puede demostrar que $S_n$ tiene una distribución binomial negativa con parámetros $p$ y $n$, es decir, $Pleft S_n=mright = binomm-1n-1p^nq^mn$ para $m=n,n+1,ldots$.

Es obvio que esto es true para $n=1$ y para $S_n+1$ encontramos para $m=n+1,n+2,ldots$:

$Pizquierda[S_n+1=mright]=sum_k=n^m-1Pizquierda[S_n=kwedge X_n+1=m-kright]=sum_k=n^m-1Pizquierda[S_n=kright]veces Pizquierda[X_n+1=m-kright]ps

Resolver esto lleva a $Pleft[S_n+1=mright]=p^n+1q^mn-1sum_k=n^m-1binomk-1n-1$ por lo que queda por demostrar que $ sum_k=n^m-1binomk-1n-1=binomm-1n$.

Esto se puede hacer con inducción en $m$:

$sum_k=n^mbinomk-1n-1=sum_k=n^m-1binomk-1n-1 +binomm-1n-1=binomm-1n+binomm-1n-1=binommn$

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