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Solución:
Hay varios métodos para abordar esto, pero voy a usar uno que cumpla con su requisito (aclarado en un comentario) de que uno debe renunciar al uso de motores computacionales como Mathematica, en lugar de optar por una calculadora. Además, siento que usar una tabla de valores de distribución normal es hacer trampa, por lo que también renunciaré a su uso.
Primero, necesitamos la ecuación para $mathcalN(0,25)$, que, por definición, es: beginalign* f(x) &= mathcalN(mu,sigma ^2)\ &= mathcalN(0,25)\ &= frac1sigmasqrt2pi,e^ -frac(x- mu)^22sigma^2 \ &= frac15 sqrt2 pi ,e^-fracx^250 endalign* Ahora, simplemente necesitamos integrar esto de $-x$ a $x$, igualarlo a $.90$ y resolver para $x$ (nuestra respuesta): $$F(x) = frac15 sqrt2 pi int_-x^xe^-fracx^250 ,mathrmdx=0.9$$ Sin embargo , nos encontramos con problemas cuando nos damos cuenta de que esta no es una integral fácil de tomar. Dado que ya conocemos la respuesta, podemos aprovechar esto a nuestro favor encontrando una función elemental que estime $F(x)$ con un margen de error adecuadamente pequeño después de la integral. Una función simple que puede usar para estimar $F(x)$ es una serie de Taylor.
Primero necesitamos encontrar una serie de Taylor para $f(x)$ usando la fórmula para una serie de Taylor: $$sumlimits_n=0^infty frac f^(n)( a)n! , (xa)^n$$ Uno puede reconocer fácilmente el patrón de nuestra función cuando $a=0$ (el centro de nuestra curva de campana) para generar esta serie: $$f( x) = frac15 sqrt2 pisumlimits_k=0^infty frac(-1)^kx^2k50^kk !$$ Ahora podemos tomar trivialmente la integral de esta serie donde de otro modo no habríamos podido: $$F(x) = frac15 sqrt2 pisum limites_k=0^infty frac(-1)^kx^2 k+150^kk! (2 k+1)$$ Ya que no podemos usar nuestro lápiz y papel para evaluar la serie hasta el infinito, necesitamos calcular cuántos términos necesitamos salir para obtener una respuesta aceptablemente precisa. Esto se puede lograr resolviendo el error causado por no llegar al infinito antes de resolver la ecuación. Introduciendo nuestro valor ya conocido de $8.225$ por $x$ en el $k$el término de la serie y evaluando solo la parte de la serie de $k$ a $infty$, obtenemos el error de que la serie tendrá de $0$ a $k-1$. Dado que, de nuevo, no podemos ir hasta el infinito, podemos obtener una subestimación leve, pero adecuada, del error simplemente evaluando la serie de $k$ a $k$ ya que cada término subsiguiente en la serie es sustancialmente menor.
Empecé reemplazando $8.225$ por $x$ cuando $k=7$ y obtuve esto (haz esto en tu calculadora): $$sumlimits_k=7^7 frac(-1) ^k (8.225)^2k+150^kk! (2 k+1) = -frac(8.225)^1559062500000000000 approx -0.000903081$$ Dado que nuestra serie integrada es el equivalente de $F$ en $F(x) – F(- x) = int_-x^xf(x),mathrmdx$ donde $f(x)$ es la ecuación para $mathcalN(0,25)$, necesitamos multiplique nuestra respuesta por $2$ para obtener una estimación aproximada del error que tendrá nuestra respuesta final: $-0.000903081 times 2 = -0.001806162$.
Como buscamos una precisión de tres decimales, debemos proceder y probar la serie cuando $k=8$: $$sumlimits_k=8^8 frac(-1)^k (8.225 )^2k+150^kk! (2 k+1) = frac(8.225)^1726775000000000000000 approx 0.000134766$$ Finalmente, $0.000134766 times 2 = 0.000269532$. Esto tiene una precisión adecuada para nuestro cálculo final; ya que el error calculado cuando $k=8$ es aceptable, evaluaremos los términos de la serie de $k=0$ a $7$ ($k$ usado en el cálculo del error menos $1$): $$F(x) aproximadamente frac15 sqrt2 pisumlimits_k=0^7 frac(-1)^kx^2 k+150^kk ! (2 k+1)$$ Esto resulta ser: $$fracx-fracx^3150+fracx^525000-fracx^7 5250000+fracx^91350000000-fracx^11412500000000+fracx^13146250000000000-fracx^15 590625000000000005 sqrt2 pi $$ Dado que esta es nuestra estimación de $F(x)$, y esta es una función impar (una función es impar si $-f(x) = f (-x)$), simplemente necesitamos multiplicar esta función por $2$ para obtener $F(x) – F(-x)$ (lo que necesitamos establecer en $0.90$ y resolver): $$frac{1 5 sqrtfrac2pi (x-fracx^3150+fracx^525000-fracx^7 5250000+fracx^91350000000-fracx^11412500000000+fracx^13146250000000000-fracx^15 59062500000000000)$$
Ahora, igualando esto a $.90$, reorganizando la ecuación como un polinomio y usando un método de nuestra elección para resolver polinomios en una calculadora (como el método de Newton para converger en la respuesta), encontramos que la solución relevante es : $$x aprox. 8,22473 aprox. 8,225$$
Hay varias formas de calcular la distribución normal acumulativa.
Integración de serie simple
En primer lugar, podemos comenzar con $$ e^-x^2/2=1-fracx^22^1cdot1!+fracx^42^2 cdot2!-fracx^62^3cdot3!+dots $$ e integrar para obtener $$ beginalign frac1sqrt2piint_0^ xe^-t^2/2,mathrmdt &=frac1sqrt2pileft(x-fracx^33cdot2^1 cdot1!+fracx^55cdot2^2cdot2!-fracx^77cdot2^3cdot3!+dotsright)\ &= frac1sqrt2pisum_k=0^infty(-1)^kfracx^2k+1(2k+1)2^kk! end alinear $$
Serie de potencia unilateral
Para obtener una serie sin cambios de signo, escriba $$ Omega(x)=e^x^2/2int_0^xe^-t^2/2,mathrmdt $$ y tenga en cuenta que $$ Omega'(x)=1+xOmega(x) $$ lo que lleva a la siguiente recursión para los coeficientes $$ a_n+2=fraca_nn+2 $$ Como $Omega(0)=0$ y $Omega'(0)=1$, obtenemos $$ beginalign frac1sqrt2piint_0^xe^ -t^2/2,mathrmdt &=frac1sqrt2pie^-x^2/2Omega(x)\ &=frac1 sqrt2pie^-x^2/2sum_k=0^infty fracx^2k+1(2k+1)!! end alinear $$
Expansión asintótica
Los términos de la serie convergente anterior pueden volverse bastante grandes a medida que $x$ crece, así que calculemos una expansión asintótica para la cola.
Considere $$ beginalign int_x^infty e^-t^2/2,mathrmdt &=int_0^infty e^-(t+x)^2/ 2,mathrmdt\ &=e^-x^2/2int_0^infty e^-xt-t^2/2,mathrmdt &=frace^-x^2/2xint_0^infty e^-uu^2/(2x^2),mathrmdu\ & =frace^-x^2/2xint_0^infty e^-vu’,mathrmdv\ endalign $$ donde $ v=u+dfracu^22x^2$; es decir, $u=x^2left(sqrt1+2v/x^2-1right)$. Usando el teorema del binomio, para expandir $sqrt1+2v/x^2$, obtenemos $$ frac1sqrt2piint_x^infty e^-t^2/2 ,mathrmdt simfrac1sqrt2pie^-x^2/2sum_k=0^inftyfrac(-1)^ k(2k-1)!!x^2k+1 $$ donde $(-1)!!=1$.
Nótese que esta serie no es convergente, sino asintótica.
Sección de Reseñas y Valoraciones
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