Tenemos la mejor información que hemos encontrado en línea. Esperamos que te sea de mucha utilidad y si deseas compartir algo que nos pueda ayudar a mejorar hazlo con libertad.
Solución:
El área será $$int_theta_1^theta_2frac12r^2dtheta,$$ donde $r=r(theta)$ es la ecuación de la elipse, con origen polar en el foco.
Imagine una elipse con semieje mayor $a$ y excentricidad $e$, y con uno de los focos en el origen, y el otro foco en la semirrecta $theta=0$ (entonces a la “derecha” de el origen). Entonces la elipse tiene ecuación polar $$r=fraca(1-e^2)1-ecostheta.$$
El resto es desagradable. Hay una forma cerrada para la antiderivada. Uno podría preguntarle a Wolfram Alpha. Si quieres hacerlo tú mismo, puedes usar el Sustitución de Weierstrass. Pero sin duda hay una manera más ordenada.
Ben, aquí hay una sugerencia mejor. Puede estirar un círculo para formar una elipse y, si comienza con un círculo unitario, el área se amplía por el factor de $ab$, donde $a$ y $b$ son los semiejes, como de costumbre. Tome un punto en $(-R,0)$ dentro del círculo unitario y considere el sector que subtiende a $(1,0)$ y $(cos t, sin t)$. Puedes encontrar el área bastante fácilmente: obtengo $frac 12(t+Rsin t)$. Ahora amplíe el factor de error y descubra cómo hacer coincidir $R$ con su enfoque y $t$ con su punto arbitrario en la elipse.
La respuesta de Ted ya describió lo que haría, pero dejó muchas cosas para que los lectores las resuelvan o busquen. Así que aquí voy a dar detalles sobre estos. La idea principal es transformar el problema al círculo, donde las áreas se calculan más fácilmente.
Transformando coordenadas
La parametrización polar de una elipse (alineada con el eje) desde su foco viene dada por
$$overlineFP=r(theta)=fraca(1-e^2)1+ecostheta$$
donde $a$ es el semieje mayor, $e$ es la excentricidad y $theta$ es el ángulo, es decir, el true anomalía. Deletreado en coordenadas, esto es
$$overrightarrowFP= beginpmatrixr(theta)costheta\r(theta)sinthetaendpmatrix$$
Ahora estire todo en la dirección de su eje menor (es decir, su dirección $y$) por un factor de
$$frac ab=frac1sqrt1-e^2$$
El resultado será un círculo de radio $a$. El origen sigue siendo el punto que solía ser el foco. La distancia entre ese punto y el centro es $overlineCF=ae$ (también llamada excentricidad lineal o distancia focal). Así que agrega eso a las coordenadas $x$ para mover el origen al centro. Juntos ahora tienen
$$ overrightarrowCQ= beginpmatrixr(theta)costheta+ae\ frac ab r(theta)sinthetaendpmatrix = fraca 1+ecostheta beginpmatrix(1-e^2)costheta+e+e^2costheta\ sqrt1-e^2sintheta finpmatriz $$
Anomalía excéntrica
El ángulo para ese punto (respecto al eje horizontal) es la anomalía excéntrica $E$, por lo que satisface la siguiente relación:
$$tan E=fracsqrt1-e^2sintheta (1-e^2)costheta+e+e^2costheta$$
Usando la sustitución de Weierstrass que André mencionó en su respuesta, puedes convertir esto en
beginalign* frac2tanfrac E21-tan^2frac E2&= fracsqrt1-e^22tanfractheta2 (1-e^2)(1-tan^2fractheta2)+e(1+tan^2fractheta2)+e^2(1-tan^2fractheta2) \&= frac2sqrt(1+e)(1-e)tanfractheta2(1+e)-(1-e)tan^2fractheta2 =frac2sqrtfrac1-e1+etanfractheta2 1-frac1-e1+etan^2frac theta2 endalinear*
Simplemente comparando ambos lados puedes ver
$$tanfrac E2 = sqrtfrac1-e1+etanfractheta2$$
Esto concuerda con la relación que menciona Wikipedia. Y tratando con la tangente de medio el ángulo tiene la ventaja de que puedes calcular el arctan sin preocuparte por el cuadrante. Simplemente puede calcular
$$E=2arctanleft(sqrtfrac1-e1+etanfractheta2right)$$
excepto por el caso especial cuando $theta=pmpi$ que produce una tangente infinita pero también da como resultado $E=pmpi$.
Área de sector circular
Ahora sabes que el área de un sector circular es proporcional al ángulo, por lo que para un círculo de radio $a$ sería $frac12a^2E$. Esas son las áreas amarilla y cian juntas, es decir, el sector $ACQ$.
Desde el centro hacia atrás para enfocar
Pero esa área está subtendida por el centro, no por el foco. Por lo tanto, reste un triángulo de base $ae$ y altura $asin E$ (el triángulo cian $triangle FCQ$) y obtendrá el área subtendida por el foco ($AFQ$ de color amarillo):
$$ tfrac12a^2E-tfrac12a^2esin E=tfrac12a^2left(E – esin Eright) $$
De vuelta a la elipse
Esto sigue siendo un área en el círculo. Para volver a la elipse original, debe deshacer la escala, es decir, escalar la dirección $y$ en $frac ba$. Esto escala las áreas por el mismo factor. Por lo tanto, el área por la que estaba preguntando ($AFP$ teñido de rojo) sería
$$tfrac12ableft(Eesin Eright)$$
Anomalía media
A medida que varía $theta$ de $0$ a $2pi$, el área anterior variará de $0$ a $abpi$. Dado que se barren áreas iguales en el mismo tiempo, esto está estrechamente relacionado con la anomalía media que barre de $0$ a $2pi$ en tiempo constante.
$$M=Eesin E$$
Este resultado se menciona nuevamente en Wikipedia, con una referencia a la ecuación de Kepler. Entonces, en términos de la anomalía media, obtendrías el área como
$$tfrac12abM$$
tal como ben escribió en este comentario.
Si para ti ha sido de provecho este post, sería de mucha ayuda si lo compartieras con más seniors así contrubuyes a extender esta información.