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Solución:
Las balas no golpean el suelo al mismo tiempo exactamente porque es muy difícil disparar horizontalmente, hay que tener en cuenta la resistencia del aire, el suelo puede estar inclinado, hay fuerzas de Coriolis, etc.
Por lo general, cuando las personas se refieren a este fenómeno, se refieren al principio de la relatividad galileana.
Puede leer el famoso extracto del libro de Galileo aquí. Consideró navegar en un barco de navegación suave y señaló que si estás en el casco, no notas el movimiento del barco en ningún experimento de física.
Específicamente, las cosas parecen caer con total normalidad cuando estás en un barco en movimiento. Alguien de pie en la orilla mirando pensaría que los objetos en el barco están cayendo en trayectorias parabólicas con una velocidad de avance constante igual a la velocidad del barco, pero alguien en el barco piensa que caen directamente hacia abajo.
Ahora imagina dos balas. El primero lo deja alguien en el barco. El segundo se dispara con un arma en la orilla, pero se dispara exactamente a la misma velocidad que la velocidad del barco (es una bala lenta o un barco rápido, o ambas). Las balas comienzan exactamente con la misma trayectoria. No tienen forma de saber si se supone que deben mantenerse al día con el barco o la costa o qué; solo conocen su ubicación y velocidad. Entonces las dos balas deben caer de la misma manera. Según la relatividad galileana, la bala en el barco cae en la misma cantidad de tiempo que una bala que simplemente cae, por lo que la bala disparada por el arma cae en la misma cantidad de tiempo que una bala que simplemente cae también.
Una forma de ver las matemáticas es como consecuencia de las leyes de movimiento de Newton, que establecen
$$ F = m frac textrm d v textrm d t $$
Si transferimos los marcos de referencia de la costa (marco S) al barco (marco S ‘), estamos transformando las velocidades de acuerdo con
$$ v ‘= v + v_s $$
con $ v_s $ la velocidad constante del barco.
Luego
$$ F ‘= m frac textrm d v’ textrm d t = m frac textrm d v textrm d t = F $$
por lo que la física parece funcionar de la misma manera en ambos marcos (esto supone que la masa es invariante).
Sin embargo, el principio de relatividad es más profundo que las leyes de Newton y se sostiene en las teorías de la física que son más fundamentales que la mecánica de Newton, por lo que también tiene sentido tomar la relatividad más como un punto de partida que como una consecuencia.
Esto es de hecho true. La forma más sencilla de pensar en ello es en aviones. Tienes planos horizontales y verticales para velocidad y aceleración. Para ambas balas, inicialmente no hay velocidad vertical y la única fuerza neta que actúa sobre ellas es la gravedad. Entonces, esperaría que actuaran de manera similar en el plano vertical, por lo que ambos golpean el suelo al mismo tiempo. No hay nada en el movimiento hacia adelante de la bala disparada que contrarreste el tirón hacia abajo de la gravedad (como la elevación). Espero que la explicación no sea demasiado vaga y le ayude a comprender mejor lo que está sucediendo.
EDITAR: Debo especificar que esto solo es válido true para situaciones ideales (estar en el vacío, sin resistencia al aire, etc.)
Mark fue el que más se acercó en su respuesta, pero quiero abordar algunas de las desviaciones del idealismo con mayor detalle. La gente ha mencionado el ángulo en el que se encuentra el arma y la resistencia del aire, así que intentaré tocar ambos.
Tienes una altura $ h $, digamos que la velocidad de la bala es $ vec V_b = < V_bx, V_by>$ (agregue $ t $ dependencia cuando sea necesario). El tiempo que tarda en caer será $ sqrt 2h / g $ en un vacío basado en la cinemática newtoniana ideal. La idea en el mundo sin fricción es que la velocidad horizontal de la bala sigue siendo $ V_p $ y la velocidad resultante a lo largo del tiempo será una combinación de eso y la velocidad vertical causada exclusivamente por la gravedad, $ gt $. Usaré $
$$ vec V_b (t) = < V_p , -g t>$$ $$ vec V_f (t) = < 0, -g t>$$
A continuación, la resistencia del aire (arrastre) generalmente se considera una relación proporcional a la velocidad, en la dirección opuesta del vector de velocidad. Tomaré esa relación como la forma común de una constante multiplicada por la magnitud de la velocidad al cuadrado (linealmente $ a_b = -CV ^ 2 $). Luego escribiré las ecuaciones diferenciales completas para el problema … en una notación abreviada vectorial bastante extrema. Tome $ r $ como posición.
$$ vec a_b (t) = – frac vec V_b (t) C | vec V_b (t) | ^ n = – vec V_b (t) C | vec V_b (t) | ^ 2 $$ $$ vec r_b ‘= vec V_b $$ $$ vec V_b’ = vec a_b $$ $$ vec r_b (0) = <0,h>$$ $$ vec V_b (0) = <0,0>$$
Una muy buena suposición para este experimento si se realizó a una altura pequeña (que es cualquier altura a la que prácticamente se podría configurar el experimento), la velocidad de la bala será mucho mayor que la velocidad final debido a la gravedad. La conveniente simplificación que surge es:
$$ | vec V_b (t) | = (V_ bx ^ 2 + V_ por ^ 2) ^ frac 1 2 approx V_ por (t) $$
Esto permite una solución de forma cerrada muy agradable.
$$ vec V_b (t) = left< fracV_p C t V_p + 1 , -g frac left( fracC t V_p 2 + t right) C t V_p + 1 right>$$
A partir de esto, puedo decir que la bala golpeará el suelo al mismo tiempo que algo se deja caer al mismo tiempo que dispara cuando se cumple una determinada condición, que es:
$$ C t V_p ll 1 $$
Hasta ahora he usado un coeficiente de arrastre no estándar. Así que convertiré la ecuación para usar el coeficiente de arrastre estándar y luego para el coeficiente de balasto.
$$ frac C_d rho A t V_p 2 m = frac rho t V_p 2 BC ll 1 $$
Entonces esta es la primera de mis respuestas. Por el otro, simplemente abordaré la sensibilidad angular. La distancia horizontal recorrida por la bala es mucho mayor que la distancia vertical que cae, pero aún forma un triángulo. Requerimos que el desplazamiento desde la horizontal al final del vuelo debido a la inclinación del arma debe ser mucho menor que la altura formalmente.
$$ V_p t sin theta approx V_p t theta ll h $$
$$ theta ll frac h V_p t = frac 1 V_p sqrt frac gh 2 $$
Digamos que el arma está a una altura $ h = 20 m $. La velocidad de la bala sería bastante $ V_p = 500 m / s $.
$$ theta ll 0.028 rad = 0.802 ^ circ $$
Tenga en cuenta que este valor es solo un valor suficiente para arruinar completamente el experimento por lo que lo ideal sería que fuera 10 veces más pequeño que esto. Para la otra parte, lidiando con el arrastre, tomaré algunos números muy generales. Un coeficiente de arrastre para un cono genérico es de aproximadamente $ C_d = 0.5 $, así que lo usaré. Para una viñeta diremos $ m = 10 g $. Aire, $ rho = 1.2 kg / m ^ 3 $. El área de viñetas lo tomaremos como $ A = 0.2 m ^ 2 $. Para 20 m de altura tenemos $ t = 2 s $.
$$ frac C_d rho A t V_p 2 m = 0.006 $$
Así que parece que mi respuesta es que el arma debe mantenerse muy quieta, pero siempre que sea un arma “ordinaria” y mis números sean correctos, sí, la bala golpeará el suelo casi al mismo tiempo. Ojalá me haya formalizado un poco exactamente cuando este es true.
Acuérdate de que tienes la capacidad de aclarar tu experiencia si atinaste tu contrariedad justo a tiempo.