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Solución:
Los datos del cociclo que revisan juntos son un mapa de 2-groupoides $B Gamma to B Aut(BG)$ hasta el desarrollo del automorfismo 2-grupo “de $G$” (realmente: de $BG$). Como para cualquier cociclo con coeficientes en un grupo de automorfismos, existe el correspondiente haz asociado de 2 fibras, por lo tanto, un haz de fibras $BG$. Ese es el Giraud G-gerbe correspondiente y esa es esencialmente la extensión del grupo.
Hay algunos detalles sobre esto explicados en la entrada de nLab cohomología de grupos no abelianosaunque tal vez eso necesite otro toque.
La historia abstracta general del cociclo no abeliano, los gerbes infinitos y los paquetes infinitos asociados se encuentra en la sección 4 de
- Thomas Nikolaus, Urs Schreiber, Danny Stevenson, Principales haces infinitos – Teoría general (arXiv:1207.0248, web)
No estoy seguro si esta es la definición más general, pero mi propuesta para la segunda cohomología no abeliana es datos de descendencia combinatoria en un gropoide cruzado cosimplicial, equivalencia de calibre de módulo. Este es un desarrollo de una idea anterior de L. Breen.
Esto está resuelto en mi papel.
Datos de descendencia combinatoria para gerbes, Journal of Nonconmutative Geometry Volume 8, Issue 4, 2014, pp. 1083–1099 arXiv: 1109.1919
Para una aplicación geométrica ver el artículo
Cuantización de deformación torcida de variedades algebraicas, avances en matemáticas, volumen 268, 2 de enero de 2015, páginas 241–305 arXiv: 0905.0488
no abeliano $H^2$ en Galois, la cohomología se puede definir en términos de: (1) cociclos, (2) extensiones, (3) gerbes. Las relaciones entre estas tres definiciones se describen en la Sección 2.2 de Le principe de Hasse pour les espaces homogènes : réduction au cas des stabilisateurs finis de Cyril Demarche y Giancarlo Lucchini Arteche.
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