Solución:
Parece que no hay forma de tener la clave api de Google Maps gratis sin tarjeta de crédito. Para probar la funcionalidad del mapa de Google, puede usarlo mientras deja el campo de clave de API “VACÍO”. Mostrará un mensaje que dice “Solo para fines de desarrollo”. Y de esa manera, puede probar la funcionalidad del mapa de Google sin poner información de facturación para la clave de API del mapa de Google.
<script src="https://maps.googleapis.com/maps/api/js?key=&callback=initMap" async defer></script>
Respuesta actualizada
A partir del 11 de junio de 2018, ahora es obligatorio tener una cuenta de facturación para obtener la clave API. Aún puede realizar llamadas sin llave a la API de JavaScript de Maps y a la API de Street View Static, que devolverán mapas de baja resolución que se pueden usar para el desarrollo. Habilitar la facturación aún le brinda un crédito gratuito de $ 200 mensuales para sus proyectos.
Esta respuesta ya no es válida
Siempre que utilice una clave de API de prueba, su registro y uso es gratuito. Pero cuando mueves tu aplicación a nivel comercial, tienes que pagar por ella. Cuando habilita la facturación, Google le otorga $ 200 de crédito gratis cada mes, lo que significa que si el uso del mapa de su aplicación es bajo, aún puede usarlo de forma gratuita incluso después de habilitar la facturación, si excede el límite de crédito, ahora debe pagarlo.