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Solución:
- La topología del producto: un conjunto abierto básico de $mathbbR^omega$ tiene la forma $$ U = U_1times U_2times cdots times U_n times mathbbR times mathbbR times cdots $$ donde $U_i$ son conjuntos abiertos en $mathbbR$. Ahora tome cualquier $xin mathbbR^omega$, y cualquier conjunto abierto básico $U$ que contenga $x$. Sea $$ y = (x_1, x_2, ldots, x_n, 0,0,0,ldots) $$ Ahora tenga en cuenta que $y in U$ (dado que $U$ solo se preocupa por los primeros $n$ componentes ). Además, $y in mathbbR^infty$.
Por lo tanto, $mathbbR^infty$ es denso en $mathbbR^omega$ en la topología del producto.
- La topología de caja: cada conjunto abierto básico tiene la forma $$ W = W_1times W_2times cdots times W_ntimes W_n+1times cdots $$ Ahora toma cualquier $x notin mathbb R^infty$; entonces $x_n neq 0$ para infinitos $n$. En particular, si $$ W_n = begincases (x_n – |x_n|/2, x_n + |x_n|/2) quad & textif $x_nneq 0$ \ (-1, 1) &textsi $x_n = 0$ endcases $$ entonces si $W = prod W_i$ como arriba, entonces $xin W$ y $$ W cap mathbbR ^infty = emptyset $$ ¿Ves por qué?
Por lo tanto, $mathbbR^infty$ está cerrado en la topología de caja.
En la topología de caja: Sea $(x_n) notin Bbb R^infty$. ¿Puedes encontrar un conjunto abierto sobre $(x_n)$ que no contenga ningún elemento de $Bbb R^infty$? Piense en los valores de $n$ para los que $x_n=0$ y aquellos para los que $x_nne 0$; tendrá que manejarlos por separado.
En la topología del producto: Sea $(x_n) in Bbb R^omega$. Sea $U$ un conjunto abierto básico sobre $(x_n)$. ¿Qué tipo de cosas hay en $U$?
Primero, notamos que, para cualquier número real $alpha neq 0$, podemos encontrar un intervalo abierto $( beta, gamma)$ tal que $alpha in (beta, gamma)$ y tal que $0 notin (beta, gamma)$: de hecho podemos tomar $$ ( beta, gamma) colon= begincases left( fracalpha2, 2 alpha right) & mbox si alpha > 0, \ left( 2 alpha, fracalpha2 right) & mbox si alpha < 0. endcasos tag0 $$
Para la topología de caja:
Sea $mathbfa colon= left( alpha_1, alpha_2, ldots right)$ un elemento arbitrario de $mathbbR^omega setminus mathbbR^infty$ . Entonces hay infinitos números naturales $n$ para los cuales $alpha_n neq 0$, y para cada uno de estos $n$ podemos encontrar un intervalo abierto $left( beta_n, gamma_n right)$ que contiene $ alpha_n$ y que no contenga $0$, como en (0) arriba.
Sea $ left( n_1, n_2, ldots right)$ la secuencia estrictamente creciente de todos aquellos números naturales $n$ para los cuales $alpha_n neq 0$. Consideremos el elemento básico de topología de caja $$ B colon= prod_n in mathbbN left( a_n, b_n right) = left( a_1, b_1 right) times left( a_2, b_2 right) times cdots, $$ donde $$ left( a_n, b_n right) colon= begincases left( beta_n, gamma_n right) & mbox si n = n_k mbox para algunos k in mathbbN, \ (-1, 1) & mbox de lo contrario. endcases tag1 $$ Entonces $$mathbfa in B subset mathbbR^omega setminus mathbbR^infty, tag2$ $ para si $mathbfx colon= left( x_1, x_2, ldots right) in B$, entonces $x_n_k in left( beta_n_k, gamma_n_k right)$, lo que implica que $x_n_k neq 0$ para todo $k in mathbbN$; es decir, $x_n neq 0$ para infinitos números naturales $n$, y así $mathbfx in mathbbR^omega setminus mathbbR^infty$.
Así, hemos demostrado que para cada punto $mathbfa in mathbbR^omega setminus mathbbR^infty$, podemos encontrar un elemento base de topología de caja $B$ tal que ( 2) mantiene. Por lo tanto, $mathbbR^omega setminus mathbbR^infty$ está abierto, y $mathbbR^infty$ está cerrado en $mathbbR^omega$ en la topología de caja, lo que implica que $$ overlinemathbbR^infty = mathbbR^infty. $$
Ahora para la topología del producto:
Sea $mathbfx colon= left( x_1, x_2, ldots right)$ cualquier elemento de $mathbbR^omega$, y sea $U colon= prod_n en mathbbN U_n$ sea un elemento base de topología de producto que contenga $mathbfx$. Entonces $U_n$ está abierto en $mathbbR$ para cada $n in mathbbN$, y $U_n neq mathbbR$ para un número finito de $n in mathbb N$; sean $n_1, ldots, n_k$ todos los números naturales $n$ para los cuales $U_n neq mathbbR$, y sean $$N colon= max left n_1, ldots, n_k\derecho. $$ Entonces $U_n = mathbbR$ para todo número natural $n > N$. Ahora sea $mathbfx^prime colon= left( x_1^prime, x_2^prime, ldots right)$ tal que, para cada $n in mathbbN$, $ $ x_n^prime colon= begincases x_n & mbox if n leq N, \ 0 & mbox if n > N. endcases $$ Entonces obviamente esto $mathbfx^prime in U cap mathbbR^infty$ para que $U cap mathbbR^infty$ no esté vacío.
Por lo tanto, hemos demostrado que cada elemento de base de topología de producto $U$ en $mathbbR^omega$ que contiene $mathbfx$ se cruza con $mathbbR^infty$. Entonces $mathbfx in overlinemathbbR^infty$.
Pero $mathbfx$ era un elemento arbitrario de $mathbbR^omega$. Por lo tanto, podemos concluir que cada elemento de $mathbbR^omega$ está en el cierre de $mathbbR^infty$. Es decir, $$ overline mathbbR^infty = mathbbR^omega. $$
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